一个线性方程组包含两个或多个涉及同一组变量的线性方程。它是一组方程，当在图表上绘制时，每个方程代表一条直线（或在更高维度中代表一个超平面）。
我们的目标是找到能同时满足所有方程的变量值。线性方程组的解就是那些能同时满足所有方程的变量值的集合。
线性方程组示例
- 包含两个变量的两个方程：
> x + 2y = 5
> 3x – y = 4
- 包含三个变量的三个方程
> x + y + z = 6
> 2x – y + 3z = 14
> 4x + 3y + 2z = 24
矩阵是按行和列排列的数字、符号或表达式的矩形阵列。在求解线性方程的背景下，我们使用矩阵来表示方程的系数，并通过操作它们来找到解。
将线性方程组表示为矩阵
方程组的矩阵表示，对于以下系统：
> x + 2y = 5
> 3x − y = 4
矩阵形式为 \begin{pmatrix}1 & 2 \\\3 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 \\\4\end{pmatrix}
增广矩阵：增广矩阵将系数矩阵和常数项结合在一起，即：
\left[\begin{array}{cc|c}1 & 2 & 5 \\\3 & -1 & 4\end{array}\right]
在增广矩阵中：
- 左侧代表变量的系数。
- 右侧（竖线之后）代表方程中的常数项。
使用矩阵求解方程组的方法
- 高斯消元法：利用行操作来简化增广矩阵，并通过回代求解。
- 逆矩阵法：如果系数矩阵是可逆的，则使用 $X=A^{-1}B$ 求解。
- 克莱姆法则：利用行列式来求每个变量 $x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)}$。
为了使用矩阵求解线性方程组，请遵循以下步骤。
示例： 使用高斯消元法求解以下方程组
> x + y + z = 6
> 2x − y + 3z = 14
> 4x + 3y + 2z = 24
解：
步骤 1： 构建增广矩阵。
\left[ \begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\\2 & -1 & 3 & 14 \\\4 & 3 & 2 & 24\end{array} \right]
步骤 2： 执行行操作进行简化。
- R2 = R2 − 2R1
> R2 = [2, -1, 3, 14] – 2 × [1, 1, 1, 6] = [2 – 2, -1 – 2, 3 – 2, 14 – 12] = [0, -3, 1, 2]
- R3 = R3 − 4R1
> R3 = [4, 3, 2, 24] – 4 × [1, 1, 1, 6] = [4 – 4, 3 – 4, 2 – 4, 24 – 24] = [0, -1, -2, 0]
- 进一步简化为行阶梯形。
步骤 3： 回代求解 x, y 和 z。
> 由第 3 行：
>
> -1y – 2z = 0
> y + 2z = 0 （乘以 -1 进行简化）
> y = -2z
>
> 现在，由第 2 行求出 y 关于 z 的表达式：
> -3y + z = 2
>
> 将 y = -2z 代入该方程：
> -3(-2z) + z = 2 ⇒ 6z + z = 2
> 7z = 2 ⇒ z = 2/7
>
> 既然我们得到了 z = 2/7，将其代入 y = -2z：
> y = -2 × 2/7 = -4/7
>
> 现在，由第 1 行求 x：
> x + y + z = 6
>
> 将 y = – 4/7 和 z = 2/7 代入该方程：
> x – 4/7 + 2/7 = 6 ⇒ x – 2/7 = 6
> 7x – 2 = 42 ⇒ 7x = 44
> x = 44/7
步骤 4： 通过代回原方程验证解。
> 因此，方程组的解为： x = 44/7, y = -4/7, z = 2/7
使用矩阵求解方程组的练习题
问题 1： 使用矩阵求解方程组。
- x + y = 5
- 2x − 3y = -4
让我们使用矩阵来求解。
解：
> 构建增广矩阵：
> \left[\begin{array}{cc|c}1 & 1 & 5 \\\2 & -3 & -4\end{array}\right]
>
> 行操作：
> R2 减去 2×R1： \begin{bmatrix}1 & 1 &
& -14\end{bmatrix}
>
> 回代： 由 R2 得： y = 14/5
> 代入 R1： x + y = 5,
> 解 x： x + 14/5 = 5 ⇒ x = 11/5
>
> 解： x = 11/5, y = 14/5
问题 2： 使用逆矩阵法求解。
- 3x + 2y = 6
- x − y = 4
让我们使用逆矩阵法来求解。
解：
> 矩阵形式：
> A = \begin{bmatrix}3 & 2 \\\1 & -1\end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix}x \\\y\end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix}6 \\\4\end{bmatrix}
> AX = B
> 求 A 的逆：
> A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix}-1 & -2 \\\-1 & 3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{-5} \cdot (-1) & \frac{1}{-5} \cdot (-2) \\\ \frac{1}{-5} \cdot (-1) & \frac{1}{-5} \cdot 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0.2 & 0.4 \\\0.2 & -0.6\end{bmatrix}
> 计算 X = A^{-1}B：
> X = \begin{bmatrix}0.2 & 0.4 \\\0.2 & -0.6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}6 \\\4\end{bmatrix}