Widrow-Hoff 算法由 Bernard Widrow 和他的学生 Ted Hoff 在 20 世纪 60 年代开发，旨在最小化期望输出与线性预测器产生的输出之间的均方误差。本文旨在带领大家探索 Widrow-Hoff 算法的基础知识，并分析其对学习算法演变的影响。
目录
- 理解 Widrow-Hoff 算法
- Widrow-Hoff 规则中的权重更新规则
- Widrow-Hoff 算法的工作原理
- 实现 Widrow-Hoff 算法解决线性回归问题
- Widrow-Hoff 算法的应用
理解 Widrow-Hoff 算法
Widrow-Hoff 学习算法，通常被称为最小均方算法，广泛应用于机器学习、深度学习和自适应信号处理领域。该算法主要用于监督学习，在这种场景下，系统会通过迭代调整参数来逼近目标函数。它的工作机制是通过更新线性预测器的权重，使得预测输出随时间逐渐收敛到实际输出。
Widrow-Hoff 规则中的权重更新规则
更新规则指导我们如何根据期望输出和实际输出之间的误差来调整 Adaptive Linear Neuron (ADALINE) 的权重。Widrow-Hoff 算法中的权重更新规则如下所示：
w(t+1)=w(t)+η(d(t)−y(t))x(t)
其中，
- w(t)
和 w(t+1) 分别是更新前和更新后的权重向量。
- η 是学习率，一个小的正常数，决定了权重更新的步长。
- d(t) 是 t 时刻的期望输出。
- y(t) 是 t 时刻的预测输出。
- x(t) 是 t 时刻的输入向量。
解读
- 误差信号: d(t)−y(t) 用于计算误差。正误差意味着实际输出需要增加，负误差则意味着需要减少。
- 学习率: η 对权重的更新误差进行缩放。较大的误差会导致权重的调整幅度更大。
- 更新方向: x(t) 决定了权重更新的方向。正误差会沿输入方向调整权重，而负误差则会沿相反方向调整。
Widrow-Hoff 算法的工作原理
Widrow-Hoff 算法的关键步骤如下：
- 初始化: 随机初始化权重。
- 迭代更新:
– 通过取输入特征与当前权重的点积来计算预测输出。
– 计算预测输出与真实输出之间的误差。
– 通过加上学习率乘以误差再乘以输入特征（梯度下降步骤）来更新权重。
- 收敛: 重复步骤 2 多个周期，直到收敛为止。
!<a href="https://media.geeksforgeeks.org/wp-content/uploads/20240515182018/WidrowHoff-Algorithm-.webp">WidrowHoff-Algorithm-
实现 Widrow-Hoff 算法解决线性回归问题
我们将使用 Python 和 NumPy 来实现 Widrow-Hoff（或 LMS）学习算法，以学习线性回归模型的权重，然后将其应用于合成数据，并将真实权重与学习到的权重一起打印出来。我们遵循了以下步骤：
步骤 1：定义 Widrow-Hoff 学习算法
INLINECODE8e8ea9a2 函数接收输入特征 (INLINECODEae75963d)、目标值 (INLINECODEddbe5a7f)、学习率和周期数 INLINECODEd8c37cc6。它会初始化随机权重，在指定的周期数内迭代数据集，计算预测值，计算误差，并使用 Widrow-Hoff 更新规则更新权重。
# Define the Widrow-Hoff (LMS) learning algorithm
def widrow_hoff_learning(X, y, learning_rate=0.01, epochs=100):
num_features = X.shape[1]
weights = np.random.randn(num_features) # Initialize weights randomly
for _ in range(epochs):
for i in range(X.shape[0]):
prediction = np.dot(X[i], weights)
error = y[i] - prediction
weights += learning_rate * error * X[i]
return weights
步骤 2：生成随机数据集
使用 NumPy 生成随机数据。INLINECODE6f8f3094 是一个包含 100 个样本和 2 个特征的矩阵。INLINECODE168f67a3 代表用于生成 INLINECODEd87b9626 的真实权重。为了模拟真实数据，我们向 INLINECODE132c1fc4 中添加了噪声。
# Generate some synthetic training data
np.random.seed(0)
X = np.random.randn(100, 2) # 100 samples with 2 features
true_weights = np.array([3, 5]) # True weights for generating y
y = np.dot(X, true_weights) + np.random.randn(100) # Add noise to simulate real data
步骤 3：添加偏置项
我们在特征矩阵 X 中添加了一个偏置项（常数特征），以考虑线性模型中的截距项。
# Add a bias term (constant feature) to X
X = np.concatenate([X, np.ones((X.shape[0], 1))], axis=1)
步骤 4：应用 Widrow-Hoff 算法学习权重
此时我们调用 widrow_hoff_learning 函数