函数的极限是微积分和数学分析中的一个基本概念，它描述了当函数的输入接近某个特定值时，函数的表现行为。简单来说，如果当 $x$ 接近 $a$ 时，函数 $f(x)$ 的值接近 $L$，那么我们就说函数 $f(x)$ 在 $x = a$ 处的极限是 $L$。
在本文中，我们将深入探讨函数的极限这一核心概念。
目录
函数极限的定义
函数极限描述了当输入接近某一点时，函数所趋近的值。形式化地讲，如果 $f(x)$ 是一个函数，而 $c$ 是其定义域内的一点，那么当 $x$ 趋近于 $c$ 时 $f(x)$ 的极限记作：
> $$\lim_{x \to c}f(x)=L$$
其中 $L$ 是当 $x$ 越来越接近 $c$ 时，$f(x)$ 所逼近的值。这可以被理解为函数 $f(x)$ 从 $c$ 的两侧趋近于 $L$。
极限的 $\epsilon-\delta$ 定义
对于一个给定的函数 $f(x)$，如果极限 $\lim_{x \to c}f(x) = L$ 成立，意味着对于任意小的正数 $\epsilon$，都存在一个相应的小正数 $\delta$，使得只要 $x$ 位于 $c$ 的 $\delta$ 距离内（但不等于 $c$），函数值 $f(x)$ 就位于 $L$ 的 $\epsilon$ 距离内。
用形式化的符号表示如下：
> $$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ such that if } 0 <
< \delta, \text{ then }
< \epsilon.$$
极限的类型
有限极限： 当变量趋近于某一点时，函数趋近于一个有限的数值。
无穷极限： 当变量趋近于某个特定值时，函数的值无限增长（无界）。
单侧极限 或 左极限和右极限：
- 左极限： 当 $x$ 从左侧趋近于 $c$ 时，$f(x)$ 趋近的值（记作 $\lim_{x \to c^-} f(x)$）。
- 右极限： 当 $x$ 从右侧趋近于 $c$ 时，$f(x)$ 趋近的值（记作 $\lim_{x \to c^+} f(x)$）。
为了使极限存在，左极限和右极限必须相等：
> $$\lim{x \to c^-} f(x) = \lim{x \to c^+} f(x) = L$$
如果这两者不相等，则函数在 $c$ 处的极限不存在。
无穷远处的极限： 指 $x$ 趋近于正无穷或负无穷时的极限。这些极限描述了当变量无限增长时函数的行为。
使用表格解释极限
让我们考虑函数 $f(x)=x^2$ 并评估当 $x$ 趋近于 2 时的极限。
我们要计算 $\lim{x \to 2}f(x) = \lim{x \to 2}x^2$。
现在，让我们创建一个表格，列出从两侧（左侧和右侧）越来越接近 2 的 $x$ 值，并观察对应的 $f(x) = x^2$ 值：
f(x) = x^2
—
3.61
3.9601
3.996001
4
4.004001
4.0401
4.41当 $x$ 从左侧（小于 2 的值）和右侧（大于 2 的值）接近 2 时，$f(x)$ 的值越来越接近 4。这表明 $\lim_{x \to 2}x^2 = 4$。
因此，通过这个表格证实，当 $x$ 趋近于 2 时，函数 $f(x) = x^2$ 的极限为 4。
极限的运算法则
极限遵循特定的规则，这些规则使解决极限问题变得更加容易。以下是一些极限的基本法则：
加法法则
函数之和的极限等于它们极限的和。
> $$\lim{x \to c} [f(x) + g(x)] = \lim{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x)$$
减法法则
两个函数之差的极限等于它们极限的差。
> $$\lim{x \to c} [f(x) – g(x)] = \lim{x \to c} f(x) – \lim_{x \to c} g(x)$$
乘法法则
两个函数乘积的极限等于它们极限的乘积。
> $$\lim{x \to c} [f(x) \cdot g(x)] = \lim{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x)$$
除法法则
两个函数商的极限等于它们极限的商，前提是分母的极限不为零。
> $$\lim{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim{x \to c} f(x)}{\lim{x \to c} g(x)}, \text{ 如果 } \lim{x \to c} g(x)
eq 0$$
常数倍数法则
常数与函数乘积的极限等于该常数乘以函数的极限。
> $$\lim{x \to c} [k \cdot f(x)] = k \cdot \lim{x \to c} f(x)$$
幂法则
函数的 $n$ 次幂的极限等于该函数极限的 $n$ 次幂。
> $$\lim{x \to c} [f(x)]^n = \left(\lim{x \to c} f(x)\right)^n$$
计算极限的方法
以下是一些计算极限的常用方法：
- 直接代入法：对于连续函数，直接将 $x$ 的值代入函数中计算。
- 因式分解法：对函数进行因式分解以简化表达式，特别适用于有理函数。
- 有理化法：对于含有平方根的函数，对分子或分母进行有理化，以解决不定式。
- 洛必达法则：适用于 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 等不定式。