在几何学的世界里，仅仅依靠一把没有刻度的直尺和一只圆规，我们就能构建出令人惊叹的精确图形。今天，我们将深入探讨一个经典且极具代表性的几何作图问题：如何构建 135 度角。
你可能会问，在量角器触手可及的今天，为什么我们还要学习这种看似原始的作图方法？事实上，掌握尺规作图不仅能帮助我们深刻理解几何背后的原理（例如角平分线、垂线等的性质），更是培养逻辑思维和空间想象力的绝佳练习。在这篇文章中，我们将采用“分而治之”的策略，利用 90 度角（直角）和 45 度角的基本原理，一步步带领你完成 135 度角的构建。
几何作图的核心：基本工具与原理
在开始之前，让我们先明确一下我们将要使用的“武器”。虽然工具简单，但组合起来却威力无穷。
#### 必备工具清单
- 圆规：这是我们的主要绘图工具，用于绘制圆弧和转移线段长度。关键提示：在作图过程中，保持圆规的半径（开口大小）不变是构建等角和等长线段的关键，除非你需要刻意改变它来寻找交点。
- 直尺：注意，这里使用的是没有刻度的直尺。它的作用仅仅是绘制直线或连接两点，而不是用来测量长度。
- 铅笔：用于标记点和绘制线条。建议使用硬度较高的铅笔（如 2H），以保持线条的精细和作图的准确度。
#### 构建策略：为什么是 90 + 45？
在处理像 135 度这样的“特殊角”时，我们通常不会凭空去画，而是利用已知的几何性质进行分解。我们知道：
- 180 度 是平角。
- 90 度 是平角的一半（直角）。
- 45 度 是直角的一半（通过作角平分线得到）。
因此，135 度角可以看作是 90 度 + 45 度，或者 180 度 – 45 度。我们的构建路径将基于“先构造基础，再进行分割”的逻辑：
- 首先，画出一条基准线。
- 构造出 90 度角（垂线）。
- 在 90 度的基础上，通过角平分线构造出 45 度角。
- 将两者叠加，即可得到目标角度。
下面，让我们进入实战环节。
135 度角的详细构建步骤
请准备好你的纸和笔，跟随我们的步伐，一步步完成这个几何构建。每一步都至关重要，请务必保持线条的精准。
#### 第一阶段：构建基础结构
步骤 1：绘制基准线
首先，在纸上画一条直线。为了方便后续的描述，我们在直线上标记两个端点，分别命名为 点 A 和 点 B。这条线段 AB 将作为我们构建所有其他元素的基准。
#### 第二阶段：构建直角（90 度）与辅助弧
步骤 2：画第一道辅助弧
以点 A 为圆心（将圆规的针尖固定在 A），调整圆规的半径到适当的宽度（不要太小，以免后续交点密集难以分辨），画一条圆弧。确保这条弧线与直线 AB 相交。我们将交点标记为 点 C（靠近 A 的交点）。
- 技术细节：此时，我们实际上是在构建垂线的前奏。我们需要以相同的半径在直线上截取一段距离。
步骤 3：构建垂线参考点
保持圆规的半径严格不变。将圆规的针尖移动到点 C 上。以此为中心，在直线 AB 的上方（即我们要构建角度的一侧）画一道弧线。记下这道新弧线与上一道弧线的交点，将其标记为 点 E。
- 原理揭秘：这一步其实是在构建等边三角形的顶点。由于 AC = CE = EA，三角形 ACE 是等边的，因此角 CAE 为 60 度。但这只是中间过程，我们要继续。
步骤 4：延伸截取
继续保持圆规半径不变。将针尖移动到刚刚生成的 点 E 上。再画一道弧线，让它穿过以 A 为圆心的第一道弧线。我们将这个新的交点标记为 点 F。
- 原理：通过连续截取相同的半径，我们实际上是在延伸线段，为构造垂直线做几何上的准备。
步骤 5：确定垂直方向（90 度角）
现在，我们需要改变圆规的半径了。将圆规的开口稍微调大一些（只要能连接两边的弧即可）。
分别以 点 E 和 点 F 为圆心，画两道弧线。确保这两道弧线在直线 AB 的上方相交。我们将这个交点标记为 点 G。
步骤 6：绘制直角边
使用直尺连接点 A 和点 G。直线 AG 就是通过点 A 垂直于 AB 的直线。
此时，角 GAB 就是一个完美的 90 度 直角。我们可以看到，直线 AG 穿过了第一道弧线，我们将其交点记为 点 H。
- 验证：你现在手里有一个“L”形。我们已经完成了一半的任务，接下来需要在这个 90 度的基础上切出 45 度。
#### 第三阶段：角平分线与最终成型（45 度）
步骤 7：平分直角
为了得到 45 度（90 的一半），我们需要对直角 GAB 进行角平分。
再次调整圆规的半径（可以适当改变大小）。分别以 点 G（垂线上的点）和 点 C（基准线上的点）为圆心，在角平分线的预估位置（即 45 度角的方向）画弧。我们需要这两道弧线相交于一点。
- 注意：实际上，更标准且精确的做法是利用之前的交点。让我们利用几何性质：既然我们要平分角 HAC（即 90 度），我们分别以 H 和 C 为圆心画弧交于一点，这样更直接。让我们根据图中逻辑修正：
* 分别以 点 H（在垂线上）和 点 D（注意：这里的 D 指代基准线上 C 对侧的对称点，或者直接利用之前的截取逻辑。如果严格按照经典几何作图，此处应为垂足两侧的对称点。但为了配合步骤图片中的“点 I”逻辑，我们采用如下描述：）
* 我们需要找到将 90 度角分为两半的点。让我们回到步骤 6 产生的点 H（垂线上的截点）和基准线上的点 D（即点 C 关于 A 的对称点，或者直接利用第一道弧与直线的另一个交点）。
* 以 点 G（垂线上的辅助点）和 点 D（基准线延伸上的辅助点）为圆心画弧，两弧相交于点 I。
步骤 8：绘制 135 度角
最后，使用直尺连接 点 A 和 点 I。
直线 AI 就是我们需要的角平分线。它将 90 度的直角分成了两个 45 度角。
- 最终结果：∠HAD（或包含直角外侧的补角部分）实际上构成了 135 度。
* 让我们理清一下：直线 AG 是 90 度。直线 AI 是 45 度（相对于 AB）。
* 通常，135 度角是指大于直角的那个角。
* 即：90 度（垂直部分）+ 45 度（平分部分之外）。
* 在我们的图中，如果 AI 平分了角 CAD（平角一侧），那么我们需要确认的是最终形成的几何形态。
* 结论：根据构建步骤，∠DAI（包含 AG 的外侧角） 或者 ∠IAB（如果是反向测量）。根据图示结果标注：∠HAD 为 135°。这意味着我们构建了直角加上半个直角的补角位置，或者是直接在半圆内通过减法得到的。最直观的理解是：在半圆（180度）中，切去了一个 45 度的角，剩下的就是 135 度。
常见问题与最佳实践
在多次的几何作图教学中，我们发现初学者经常会在以下环节出错。这里有一些实用的建议来帮助你避开坑点。
#### 1. “滑动”的圆规
- 问题：很多初学者在画弧的过程中，不小心按到了圆规的关节，导致半径发生了微小的变化。这会导致后续的交点对不上，或者角度不准确。
- 解决方案：尽量使用带有螺丝锁紧装置的圆规。在确定好半径后，务必拧紧螺丝。在画弧时，用力要均匀，通过旋转手柄而不是移动笔尖来绘图。
#### 2. 弧线半径的选择
- 问题：半径太小会导致交点过于密集，难以辨认；半径太大则可能画出纸张范围。
- 最佳实践：半径通常选择在 5cm 到 8cm 之间（根据纸张大小调整）。确保圆心清晰，交点明确。
#### 3. 标记点的重要性
- 见解：千万不要在脑子里“想象”那个交点。一定要用铅笔清晰地标记出 C、D、E、F、G、H、I 等点。清晰的标记是准确连接线条的前提。
#### 4. 铅笔线条的粗细
- 优化：线条太粗会带来视觉误差。尽量使用削尖的铅笔，轻轻绘制。如果你需要最终展示作品，可以在作图完成后加深最终的线条（AB 和 AI），保留辅助线较淡，这样既美观又专业。
代码视角：几何算法的逻辑
虽然几何作图是手工操作，但其背后的逻辑与现代编程中的算法思想惊人地相似。让我们用代码的逻辑来复盘一下这个构建过程，这将帮助你更深刻地理解“算法”的含义。
#### 伪代码分析
我们可以将上述作图过程抽象为以下逻辑步骤（类似于 Python 风格的伪代码）：
# 1. 初始化环境
paper = Plane()
compass = Compass()
ruler = Ruler()
# 2. 定义基准坐标
point_A = Point(0, 0)
point_B = Point(10, 0) # 假设直线长10cm
# 3. 构建垂线 (90度)
def construct_perpendicular(start_point, on_line):
# 设置半径
radius = 5.0
# 步骤 2 & 3: 寻找上方交点 E
arc1 = compass.draw_arc(center=start_point, radius=radius)
point_C = intersection(arc1, on_line) # 获取第一个交点
point_E = compass.draw_arc(center=point_C, radius=radius).get_intersection(arc1)
# 步骤 4: 延伸至 F
point_F = compass.draw_arc(center=point_E, radius=radius).get_intersection(arc1)
# 步骤 5: 寻找垂直交点 G
larger_radius = 7.0 # 增大半径以确保相交
arc_from_E = compass.draw_arc(center=point_E, radius=larger_radius)
arc_from_F = compass.draw_arc(center=point_F, radius=larger_radius)
point_G = intersection(arc_from_E, arc_from_F)
# 步骤 6: 连接垂直线
line_AG = ruler.draw_line(start_point, point_G)
return line_AG, point_C
# 4. 构建角平分线 (45度)
def construct_bisector(vertex_point, point_on_leg1, point_on_leg2):
# 步骤 7: 以两侧点为圆心画弧相交
# 注意：这里取的是直角边上的点
bisect_radius = 4.0
arc_from_G = compass.draw_arc(center=point_on_leg1, radius=bisect_radius)
arc_from_D = compass.draw_arc(center=point_on_leg2, radius=bisect_radius)
point_I = intersection(arc_from_G, arc_from_D)
# 步骤 8: 连接角平分线
line_AI = ruler.draw_line(vertex_point, point_I)
return line_AI
# --- 执行主程序 ---
# 画基准线
line_AB = ruler.draw_line(point_A, point_B)
# 构造 90 度
line_AG, point_C = construct_perpendicular(point_A, line_AB)
print(f"已构建 90 度垂线: {line_AG}")
# 为了平分，我们需要直角边上的两个点。
# G 是垂线上的点，C 是水平线上的点。
line_AI = construct_bisector(point_A, point_G, point_C)
print(f"已构建 45 度平分线: {line_AI}")
# 最终：90度 + 45度 = 135度
# 或者理解为：180 - 45 = 135
print("构建完成：135 度角已形成。")
#### 算法复杂度分析
从算法的角度看，这个构建过程的时间复杂度是常数级 O(1)，因为步骤是固定的。但它的“精度”取决于你手中的硬件（圆规和直尺的精度）以及操作的稳定性。这就像优化代码一样，减少误差就是提升算法的准确性。
实际应用场景
为什么我们要花这么多精力去学习不用量角器的画法？
- 工程制图与机械加工：在早期的机械加工中，很多精密零件的划线必须依赖尺规作图，这能保证在不同比例下的几何一致性。
- 计算机图形学：虽然计算机是用数学公式（矩阵变换）来画图的，但理解底层的几何构建是编写高效渲染引擎的基础。比如，当你需要程序化生成一个多边形网格时，你实际上是在代码里运行这些几何算法。
- 数学竞赛与逻辑思维：这是最直接的训练。它教会我们如何用有限的公理和工具推导出复杂的结论。
总结与后续步骤
在这篇文章中，我们通过理论与实践相结合的方式，详细探讨了如何仅使用圆规和直尺来构建 135 度角。我们从几何原理出发，将其分解为 90 度和 45 度的构建任务，然后通过 8 个详细的步骤完成了作图。最后，我们还通过伪代码的视角，审视了这一过程的算法本质。
关键要点回顾：
- 分解思维：将复杂角度（135）拆解为基础角度（90, 45）。
- 精准操作：圆规的稳定性是成功的关键。
- 验证逻辑：通过构建垂线再进行平分，是获得此类复合角的标准范式。
如果你想进一步提升你的几何技能，建议尝试以下练习：
- 尝试构建 105 度角：提示：你需要使用 60 度和 45 度角的组合，或者 90 度与 15 度（60 平分再平分？不，45 减 30）。
- 探索五边形：尝试构建一个正五边形，这涉及到构建 72 度角（360/5），这比构建 135 度更具挑战性。
希望这篇指南能让你对几何作图有更深的理解。拿起你的圆规，在纸上探索更多可能吧！
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