在求解数学方程时，尤其是涉及到平方根、对数或有理表达式等复杂运算时，我们经常会遇到这样的情况：在求解过程中似乎得到了有效的解，但将它们代回原方程时却并不成立。这些解被称为增根（Extraneous Solutions）。
在本文中，我们将一起学习识别和处理增根的技巧。
目录
- 什么是增根方程？
- 如何求解增根方程
- 增根方程：例题详解
- 增根方程：练习题
- 总结
什么是增根方程？
增根方程（Extraneous Equations）是指在代数方程求解过程中出现的解，但它们并非原方程的真正解。这些虚假的解通常出现在对等式两边进行偶次幂运算（例如两边平方）的情况下。这种运算过程可能会引入无法满足原方程的解。
如何求解增根方程
让我们遵循以下步骤来求解此类方程：
- 分离根式
- 两边平方
- 化简
- 重组
- 因式分解
- 求解
- 验证
所有这些步骤都将在下文的问题中详细展示。
增根方程：例题详解
问题 1：求解 \sqrt{x + 3} = x – 1。
解答：
> 分离根式：\sqrt{x + 3} = x – 1。
>
> 两边平方：(\sqrt{x + 3})^2 = (x – 1)^2。
>
> 化简：x+3 = x2 – 2x+1。
>
> 重组：x2 – 3x – 2 = 0。
>
> 因式分解：(x – 4)(x+1) = 0。
>
> 求解：x = 4 和 x = – 1
>
> 验证：
>
> 当 x = 4 时：\sqrt{4 + 3} = 4 – 1 \rightarrow 3 = 3 (成立)
>
> 当 x = – 1 时：\sqrt{-1 + 3} = -1 – 1 \rightarrow \sqrt{2}
eq -2 (不成立)
>
> 增根： x = – 1
>
> 真解： x = 4
问题 2： 求解 x + \sqrt{x} = 6。
解答：
> 分离根式：\sqrt{x} = 6-x。
>
> 两边平方：x = (6 – x)2。
>
> 展开：x = 36 – 12x+x2。
>
> 重组：x2 – 13x+36 = 0。
>
> 因式分解：(x – 9)(x – 4) = 0。
>
> 求解：x = 9 和 x = 4。
>
> 验证：
>
> 当 x = 9 时：9 + \sqrt{9} = 6 \rightarrow 12 = 6 (不成立)
>
> 当 x = 4 时：4 + \sqrt{4} = 6 \rightarrow 6 = 6 (成立)
>
> 增根： x = 9
>
> 真解： x = 4
问题 3： 求解 \sqrt{2x + 3} = x – 2。
解答：
> 分离根式：\sqrt{2x + 3} = x – 2。
>
> 两边平方：(\sqrt{2x + 3})^2 = (x – 2)^2。
>
> 化简：2x+3 = x2 – 4x+4。
>
> 重组：x2 – 6x+1 = 0。
>
> 使用求根公式：x = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}。
>
> 验证：
>
> 当 x = 3 + 2\sqrt{2} 时：\sqrt{2(3 + 2\sqrt{2}) + 3} = (3 + 2\sqrt{2}) (成立)
>
> 当 x = 3 – 2\sqrt{2} 时：\sqrt{2(3 – 2\sqrt{2}) + 3} = (3 – 2\sqrt{2}) (不成立)
>
> 增根： x = 3 – 2\sqrt{2}
>
> 真解： x = 3 + 2\sqrt{2}
问题 4： 求解 \sqrt{x + 4} = x + 2。
解答：
> 分离根式：\sqrt{x + 4} = x + 2。
>
> 两边平方：(\sqrt{x + 4})^2 = (x + 2)^2。
>
> 化简：x+4 = x2+4x+4。
>
> 重组：x2+3x = 0。
>
> 因式分解：x(x+3) = 0。
>
> 求解：x = 0 和 x = – 3。
>
> 验证：
>
> 当 x=0 时：\sqrt{0 + 4} = 0 + 2 \rightarrow 2 = 2 (成立)
>
> 当 x=−3 时：\sqrt{-3 + 4} = -3 + 2 \rightarrow 1
eq -1 (不成立)
>
> 增根： x = – 3
>
> 真解： x = 0
问题 5： 求解 \sqrt{x – 2} + 1 = x。
解答：
> 分离根式：\sqrt{x – 2} = x – 1。
>
> 两边平方：(\sqrt{x – 2})^2 = (x – 1)^2。
>
> 化简：x – 2 = x2 – 2x+1。
>
> 重组：x2 – 3x+3 = 0。
>
> 求根公式给出的根是复数，表明没有实数解。
>
> 增根： 无
>
> 真解： 无
问题 6： 求解 \sqrt{x + 6} = 2 – x。
解答：
> 分离根式：\sqrt{x + 6} = 2 – x。
>
> 两边平方：(\sqrt{x + 6})^2 = (2 – x)^2。
>
> 化简：x+6 = 4 – 4x+x2。
>
> 重组：x2 – 5x – 2 = 0。
>
> 求解：x = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}。
>
> 验证：
>
> 当 x = \frac{5 + \sqrt{33}}{2} 时：(成立)
>
> 当 x = \frac{5 – \sqrt{33}}{2} 时：(不成立)
>
> 增根： x = \frac{5 – \sqrt{33}}{2}
>
> 真解： x = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}
增根方程：练习题
Q1. 方程： \sqrt{x + 5} = x – 3
Q2. 方程： \frac{1}{x – 2} + 2 = \frac{2}{x – 2}
Q3. 方程： x = \frac{2x}{x – 1}
Q4. 方程： \log(x – 2) + \log(x + 3) = 1
Q5. 方程： \sqrt{2x + 3} + \sqrt{x – 1} = 5
Q6. 方程： 3x – 4 = \frac{2x}{x – 3} + 1
Q7. 方程： \frac{3}{x} = x + 1
Q8. 方程： \sqrt{x + 2} – \sqrt{x – 1} = 1
Q9. 方程： 9x – 1 = \sqrt{x + 9}
Q10. 方程： \frac{x – 1}{x + 1} = \frac{3x + 5}{2x – 1}
总结
当我们求解方程，尤其是包含平方根、对数或分式的方程时，