Tan x 的导数是 sec²x。Tan x 的导数是指求正切函数相对于自变量的变化率的过程。Tan x 的导数也被称为 tan x 的微分。
在本文中，我们将学习 Tan x 的导数及其公式，包括使用导数第一原理、商法则和链式法则对公式进行的证明。
目录
- Tan x 的导数是什么？
- tan x 导数的证明
- Tan x 导数的例题
- Tan x 导数的练习题
在三角函数的导数中，tan x 的导数是其中之一。tan x 的导数是 sec²x。tan x 的导数是相对于角度（即 x）的变化率。tan x 导数的结果是 sec²x。
tan x 导数公式
tan x 的导数公式如下：
> (d/dx) [tan x] = sec²x
>
> 或者
>
> (tan x)‘ = sec²x
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tan x 导数的证明
我们可以通过以下方法证明 tan x 的导数：
为了使用导数第一原理证明 tan x 的导数，我们将使用下面列出的基本极限公式和三角公式：
- tan x = sin x/cos x
- sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
> f‘(x) = limₕ→₀ [f(x + h) – f(x)] / h … (1)
>
> 由于 f(x) = tan x，我们有 f(x + h) = tan (x + h)。
>
> 将这些代入 (1)，
>
> f‘(x) = limₕ→₀ [tan(x + h) – tan x] / h
>
> = limₕ→₀ [ [sin (x + h) / cos (x + h)] – [sin x / cos x] ] / h
>
> = limₕ→₀ [ [sin (x + h ) cos x – cos (x + h) sin x] / [cos x · cos(x + h)] ]/ h
>
> 我们知道 sin A cos B – cos A sin B = sin (A – B)。
>
> f‘(x) = limₕ→₀ [ sin (x + h – x) ] / [ h cos x · cos(x + h)]
>
> = limₕ→₀ [ sin h ] / [ h cos x · cos(x + h)]
>
> = limₕ→₀ (sin h)/ h · limₕ→₀ 1 / [cos x · cos(x + h)]
>
> 根据极限公式，limₕ→₀ (sin h)/ h = 1。
>
> f‘(x) = 1 [ 1 / (cos x · cos(x + 0))] = 1/cos²x
>
> 因为 cos 的倒数是 sec。所以
>
> f‘(x) = sec²x。
>
> 证毕。
在这里，我们将应用导数的商法则来求 tan x 的导数公式。
> 我们知道
>
> tan x = (sin x)/(cos x)。
>
> 所以我们假设 y = (sin x)/(cos x)。然后根据商法则，
>
> y‘ = [ cos x · d/dx (sin x) – sin x · d/dx (cos x)] / (cos²x)
>
> = [cos x · cos x – sin x (-sin x)] / (cos²x)
>
> = [cos²x + sin²x] / (cos²x)
>
> 根据毕达哥拉斯恒等式之一，cos²x + sin²x = 1。所以
>
> y‘ = 1 / (cos²x) = sec²x
>
> 证毕。
在这种方法中，我们将使用导数的链式法则来求 tan x 的导数。
为此，让我们假设 y = tan x 为 y = 1 / (cot x) = (cot x)-1。现在，使用幂法则和链式法则，
> y‘ = (-1) (cot x)-2 · d/dx (cot x)
>
> 我们有 d/dx (cot x) = -cosec²x。此外，根据指数的性质，a-m = 1/am。
>
> y‘ = -1/cot²x · (-cosec²x)
>
> y‘ = tan²x · cosec²x
>
> 现在，tan x = (sin x)/(cos x) 且 cosec x = 1/(sin x)。所以
>
> y‘ = (sin²x)/(cos²x) · (1/sin²x)
>
> y‘ = 1/cos²x
>
> 我们有 1/cos x = sec x。所以
>
> y‘ = sec²x
>
> 证毕。
另请参阅：
> – 反三角函数的导数
> – 微分公式
> – 三角函数的导数
Tan x 导数的例题
一些与 Tan x 导数相关的例题如下：
例 1：求 tan²x 的导数
解答：
> 设 f(x) = tan²x = (tan x)²
>
> 使用幂法则和链式法则，
>
> f‘(x) = 2 tan x·d/dx(tan x)
>
> 我们知道 tan x 的导数是 sec²x
>
> f‘(x) = 2 tan x · sec²x
>
> 因此，给定函数的导数是 2 tan x·sec²x
例 2：求 tan x 对 sec x 的导数。
解答：
> 让我们假设 v = tan x，u = sec x。那么 dv/dx = sec²x，du/dx = sec x · tan x。
>
> 我们需要求 dv/du。我们可以将其写成
>
> dv/du = (dv/dx) / (du/dx)
>
> = (sec²x) / (sec x·tan x)
>
> = (sec x) / (tan x)
>
> = (1/cos x) /