向量加法的三角形法则是一种用于将两个向量相加的方法。它指出，当两个向量依次表示为三角形的两条边时，该三角形的第三边（取相反方向）即为这两个向量的合成向量。它在大小和方向上都代表了合成向量。
!Triangle-Law-of-Vector-Addition
向量如今是许多技术的支柱，例如计算机图形学、视觉特效、机器学习和人工智能。因此，理解向量加法是深入学习这些高级主题所必需的技能。
让我们通过下面的公式和步骤，详细了解一下向量加法的三角形法则。
向量是指既包含大小又包含方向的量，将两个或多个向量进行合并的过程称为向量加法。两个向量的加法不同于传统的代数加法，因为在向量加法中，我们需要同时考虑它们的大小和方向，即合成向量的大小和方向取决于被相加的向量。
为了进行两个向量的加法，必须遵循一些必要条件。首先，我们只能对两个向量进行加法运算。不同形式的量（即标量和向量）不能相加。此外，相加的向量必须是同一种类型，不同类型的向量不能加在一起。
由于向量加法与常规的代数加法不同，我们需要一些特定的定律来进行向量加法。以下是向量加法的两条定律：
- 向量加法的三角形法则
- 向量加法的平行四边形法则
- 向量加法的多边形法则
了解更多
向量加法的三角形法则指出，当两个向量由三角形的两条边表示时，那么三角形的第三边就代表了加法运算的合成向量，即第三边代表了合成向量的大小和方向（与给定向量的方向相反）。
如果 \overrightarrow{\rm A} 和 \overrightarrow{\rm B} 是两个向量。我们要将这两个向量相加，那么根据向量加法的三角形法则，合成向量 \overrightarrow{\rm R} 由下式给出：
> \bold{\overrightarrow{\rm R}=\overrightarrow{\rm A}+\overrightarrow{\rm B}}
我们可以通过下图来直观理解。
!Triangle-Law-of-Vector-Addition
对于给定的两个向量，为了形成一个三角形，我们将这两个向量排列在一起，使得一个向量的尾部连接到另一个向量的头部。
向量加法的三角形法则公式
向量加法的三角形法则将两个向量及其合成向量以三角形的形式排列。在这个三角形中，我们将第三边看作合成向量 R，并在两个向量之间有一个夹角 θ。
任意两个向量合成的大小公式由下式给出：
>
= √(A² + B² + 2ABcosθ)
其中，
- R 是 A 和 B 的合成向量
- A 和 B 是两个向量
- θ 是 A 和 B 之间的夹角
A 和 B 合成向量的方向公式，即 Φ；由下式给出：
> Φ = tan⁻¹[Bsinθ /(A + Bcosθ)]
其中，
- Φ 是向量相对于 x 轴正方向的角度
- A 和 B 是两个向量
- θ 是 A 和 B 之间的夹角
向量加法的三角形法则推导
让我们考虑两个向量 A 和 B，分别代表三角形的两条边 OP 和 PQ。设向量 R (OQ) 为 A 和 B 相加的合成向量。
根据上述描述，我们绘制下图。
!Derivation-of-Triangle-Law-of-Vector-Addition
从三角形 OSQ 来看，
OQ² = OS² + QS²
OQ² = (OP + PS)² + QS² ——(1)
在三角形 PSQ 中，θ 是 A 和 B 之间的夹角
cos θ = PS / PQ
PS = PQ cosθ = B cosθ
sin θ = QS / PQ
QS = PQ sinθ = B sinθ
将 PS 和 QS 的值代入方程 (1)，我们得到
R² = (A + Bcosθ)² + (Bsinθ)²
R² = A² + 2ABcosθ + B²cos²θ + B²sin²θ
R² = A² + 2ABcosθ + B² (因为 cos²θ + sin²θ = 1)
因此，
> R = √(A² + B² + 2ABcosθ)
上述方程代表了合成向量的大小。
为了求得合成向量 R 的方向，设 Φ 为向量 A 和 R 之间的夹角。
从三角形 OQS 中，
tanΦ = QS / OS = Bsinθ / (A + Bcosθ)
由此我们得出方向角 Φ 的公式，验证了前文提到的结论。