什么是伯努利分布？
伯努利分布被定义为一种在只有两种选择（即二元情况）的场景下计算概率的基础工具，例如通过或未通过、赢或输，或者简单的“是”或“否”。伯努利分布可以通过抛硬币来形象化。二元情况只包含两种可能性：成功或失败。例如，当我们抛硬币时，它可能落在正面，代表成功；或落在反面，代表失败。出现正面的概率是 p，而出现反面的概率是 1-p 或 q。
> 伯努利分布包含一个只有两种可能结果的随机变量。当变量等于 1 时，它代表以概率 p 出现的成功。而当变量等于 0 时，它表示失败。失败的概率是 q，计算公式为 1-p。
目录
- 伯努利分布的相关术语
- 伯努利分布的公式
- 伯努利分布的均值与方差
- 伯努利分布的性质
- 伯努利分布图
- 伯努利试验
- 伯努利分布的示例
- 伯努利分布在商业统计学中的应用
- 伯努利分布与二项分布的区别
伯努利分布的相关术语
- 成功与失败： 在伯努利试验中，结果被称为成功 (1) 和失败 (0)。
- 成功概率： 在单次伯努利试验中，成功发生的概率介于 0 和 1 之间。
- 失败概率： 失败的概率与成功概率互补，用 q 表示，其中 q = 1 – p。
- 随机变量 (X)： 在伯努利分布的语境中，X 代表可以取值为 1 或 0 的变量，表示发生的成功次数。
- 伯努利试验： 只有两个可能结果的个体实验或试验。
- 伯努利参数： 指的是伯努利分布中成功的概率。
- 期望值（均值）： 在一系列伯努利试验中的平均结果或均值 outcome 通常记为 E[X]。
- 方差： 一种用来衡量随机变量 X 的值倾向于多大程度变化的指标。
- 二项分布： 伯努利分布是二项分布的基石，后者描述了固定次数的伯努利试验中成功的次数。
- 几何分布： 另一种源自伯努利的分布，它描述了为了获得第一次成功所需的试验次数。
- 负二项分布： 这种分布描述了为了获得指定次数的成功所需的试验次数。它也是源自伯努利试验。
伯努利分布的公式
伯努利分布公式用于描述两种可能结果的概率：成功和失败。它可以表示为 X ~ Bernoulli (p)，其中参数 p 代表成功的概率。伯努利分布可以通过概率分布函数 (PDF) 和累积分布函数 (CDF) 给出。
#### I. 伯努利分布的概率分布函数
PDF 用于计算离散随机变量取特定值的概率。对于伯努利分布，它有助于我们求出获得成功 (1) 或失败 (0) 的概率。
> P(X=x) = px(1-p)1-x, x = 0, 1; 0 < p < 1
这里，
- x 只能是 0 或 1。
- 记为 P(X = x) 的 PDF，计算的是随机变量 X 等于特定值 x 的概率。
- 如果 x=1（成功），则概率为 p。
- 如果 x=0（失败），则概率为 q，它是 p 的补集，也可以写成 (1 – p)。
#### II. 伯努利分布的累积分布函数
CDF 用于计算随机变量小于或等于特定值的概率。在伯努利分布中，它告诉我们获得小于或等于 1 或 0 的值的概率。
> F_X(x)=P(X\leq{x})=\left\{\begin{matrix} 0&x<0\\ 1-p&0\leq x<1 \\ 1&x\geq 1 \end{matrix}\right.
这里，
- 记为 P(X ≤ x) 的 CDF，确定了 X 将取小于或等于 x 的值的概率。
- 如果 x < 0，则概率为 0。
- 如果 x 介于 0 和 1 之间，则概率为 1 – p。
- 如果 x ≥ 1，概率为 1。
伯努利分布的均值与方差
#### I. 伯努利分布的均值 (μ)
均值，也称为期望值，表示当我们进行大量独立伯努利试验时的平均结果。简单来说，如果我们多次进行实验，均值提供了预期的平均结果。