微积分中的单侧极限（One-Sided Limits）是指当输入值从左侧或右侧趋近于特定点时，函数所趋近的值。当我们从左侧分析函数时，称之为左极限，记作 \(\lim{x \to c^-}f(x)\)；而从右侧分析时，则称之为右极限，记作 \(\lim{x \to c^+}\)。
在本文中，我们将深入探讨单侧极限的概念，通过实例进行演练，并提供练习题以帮助巩固理解。
目录
- 什么是单侧极限？
- 典型例题
- 练习题
什么是单侧极限？
单侧极限是指当输入值仅从一侧（左侧或右侧）趋近于特定值时，函数所趋近的值。
单侧极限的重要性
- 不连续性（Discontinuities）：单侧极限有助于分析具有不连续性（如跳跃或间断点）的函数。如果在某一点的左极限和右极限不相等，则该点处的整体极限不存在。
- 分段函数（Piecewise Functions）：单侧极限对于在不同区间有不同定义的函数（即分段函数）特别有用。
单侧极限的类型
单侧极限主要分为两种类型：
- 左极限
- 右极限
让我们详细讨论一下这两种类型。
左极限
当 \(x\) 趋近于 \(a\) 时，函数 \(f(x)\) 的左极限表示为：
> \(\lim_{x \to a^-} f(x)\)
这意味着 \(x\) 是从左侧（即小于 \(a\) 的值）趋近于 \(a\)。
右极限
当 \(x\) 趋近于 \(a\) 时，函数 \(f(x)\) 的右极限表示为：
> \(\lim_{x \to a^+} f(x)\)
这意味着 \(x\) 是从右侧（即大于 \(a\) 的值）趋近于 \(a\)。
注意： 如果某点处的两个单侧极限都存在且相等，那么该点处的双侧极限存在，并且等于该公共值。
> \(\lim{x \to a} f(x) \quad \text{存在当且仅当} \quad \lim{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+}\)
让我们通过一个例子来更好地理解。
考虑函数：\(f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{if } x < 3 \\ x^2 – 4 & \text{if } x \geq 3 \end{cases}\)
为了求出 \(x = 3\) 处的单侧极限：
- 左极限：\(\lim_{x \to 3^-}f(x) = 2(3) + 1 = 7\)
- 右极限：\(\lim_{x \to 3^+}f(x)=3^2 – 4 = 5\)
由于左极限 (7) 和右极限 (5) 不相等，因此 \(x = 3\) 处的极限不存在。然而，这两个单侧极限本身仍然是分别存在的。
进一步了解关于 极限 的内容。
单侧极限典型例题
例题 1： 对于函数 \(f(x) = 3x – 1\)，求当 \(x\) 趋近于 2 时的左极限。
解答：
> 我们需要计算 \(\lim_{x \to 2^-} f(x)\)。
>
> \(f(x) = 3x – 1\)
>
> 将 \(x = 2\) 直接代入函数：
>
> \(f(2) = 3(2) – 1 = 6 – 1 = 5\)
>
> 由于该函数是线性的且连续，其左极限为：
>
> \(\lim_{x \to 2^-} f(x) = 5\)
例题 2： 对于函数 \(f(x) = \frac{1}{x}\)，求当 \(x\) 趋近于 0 时的右极限。
解答：
> 我们需要求 \(\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x}\)
>
> 当 \(x\) 从右侧（正值）趋近于 0 时，\(\frac{1}{x}\) 会变得无穷大。因此：
>
> \(\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty\)
例题 3： 对于函数 \(f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{if } x < 1 \\ 3x – 1 & \text{if } x \geq 1 \end{cases}\)，求当 \(x\) 趋近于 1 时的左极限和右极限。
解答：
> * 对于左极限：
>
> \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 + 2 = 3\)
>
> * 对于右极限：
>
> \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = 3(1) – 1 = 2\)
>
> 由于左极限 (3) 和右极限 (2) 不同，因此 \(x = 1\) 处的双侧极限不存在。
例题 4： 对于函数 \(f(x) = \begin{cases} 5 – x & \text{if } x < 0 \\ x^2 & \text{if } x \geq 0 \end{cases}\)，求当 \(x\) 趋近于 0 时的右极限。
解答：
> 对于右极限：
>
> \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0^2 = 0\)
例题 5： 对于函数 \(f(x) = \frac{1}{x – 2}\)，求当 \(x\) 趋近于 2 时的左极限和右极限。
解答：
> * 对于左极限：
>
> \(\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x – 2} = -\infty\)
>
> * 对于右极限：
>
> \(\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x – 2} = + \infty\)
>
> 由于两侧的极限虽然都是无穷大但符号相反，因此 \(x = 2\) 处的双侧极限不存在。
练习题
Q1： \(f(x) = x^2 – 4x + 3\)，求 \(\lim_{x \to 1^-}\)。
Q2： \(f(x) = \frac{2}{x}\)，求 \(\lim_{x \to 0^+} f(x)\)。
Q3： \(f(x) = 3x – 1\)，求 \(\lim_{x \to 3^+} f(x)\)。
Q4： \(f(x) = \frac{1}{x – 1}\)，求 \(\lim_{x \to 1^-} f(x)\)。
Q5： \(f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{if } x < 2 \\ x^2 – 4 & \text{if } x \geq 2 \end{cases}\)，求 \(\lim_{x \to 2^+} f(x)\)。
Q6： \(f(x)=x^3\)，求 \(\lim_{x \to -1^-} f(x)\)。
Q7： \(f(x) = \frac{1}{x}\)，求 \(\lim_{x \to 0^-} f(x)\)。