在电子学领域，功率被定义为单位时间内转移或转换的能量总量，或者通俗地说，功率被定义为信号的强度或能级水平。功率通常以瓦特（W）为单位进行计量。
在本文中，我们将深入探讨功率谱密度的概念。首先，我们将从功率谱密度的定义及其实例开始介绍；接着，我们将推导它的公式，并探讨其性质和特征；最后，我们将通过例题解析、应用场景以及常见问题来结束本文的分享。
目录
- 定义
- 推导
- 特征
- 性质
- 例题解析
- 应用
什么是功率谱密度 (PSD)？
功率谱密度，通常简称为 PSD，是信号处理中用来衡量信号的平均功率或强度如何在不同频率分量上分布的一个基本概念。这里提到的“平均功率”是指在给定时间范围内转移或分布的能量平均值。
从数学角度来看，功率谱密度（有时也称为功率密度，记为 PD）可以用符号 $S(\omega)$ 来表示。对于一个信号 $x(t)$，其功率谱密度可以表示如下：
>
S(\omega) = \lim_{\tau \to \infty} \frac{
^2}{\tau}
图解实例
让我们来看一个余弦信号（频率 F = 5K Hz）的功率谱密度（PSD）图，其采样频率为 20K 样本：
!功率谱密度曲线功率谱密度曲线
功率谱密度 (PSD) 的推导
让我们考虑一个连续时间功率信号 $y(t)$，其定义如下。在这里，$x(t)$ 是一个定义在无限时间上的功率信号。
>
\therefore y(t) = x(t), \
<
>
>
>
> \therefore y(t) = 0, \ \text{其他情况}
由于该信号是在有限持续时间内定义的，因此其能量可以定义如下：
\therefore E = \int_{-\infty}^{\infty}
^2 dt
现在，让我们在傅里叶域中定义能量表达式。
\therefore E = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}
^2 d\omega
因为信号 $y(t)$ 定义在 $-\frac{\tau}{2}$ 到 $\frac{\tau}{2}$ 的范围内，所以：
\therefore \int{-\infty}^{\infty}
^2 dt = \int{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}
^2 dt
现在，让我们定义其在傅里叶域中的等效表示。
\therefore \int{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}
^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int{-\infty}^{\infty}
^2 d\omega
由于总功率 ($P_t$) 被定义为单位时间间隔 ($\tau$) 内转移的总能量，因此在数学上，它定义如下：
\therefore P_t = \frac {E}{\tau}
\therefore Pt = \frac{1}{2\pi} \int{-\infty}^{\infty} \frac{
^2}{\tau} d\omega
现在，当 $\tau \rightarrow \infty$ 时，总功率 ($Pt$) 被称为平均功率 ($P{avg}$)，其定义如下：
\therefore P{avg} = \frac{1}{2\pi} \int{-\infty}^{\infty} lim_{\tau \to \infty} \frac{
^2}{\tau} d\omega
当 $\tau \to \infty$ 时，表达式 $(\frac{
}{\tau} )$ 趋向于一个有限值。让我们将这个有限项设为 $S(\omega)$。
\therefore S(\omega) = lim_{\tau \to \infty} \frac{
}{\tau}
因此，上述定义的表达式被称为连续时间信号 $y(t)$ 的功率谱密度 (PSD)。同样，我们也可以用 $X(\omega)$ 来定义：
\therefore S(\omega) = lim_{\tau \to \infty} \frac{
}{\tau}
所以，广义连续时间信号 $x(t)$ 的平均功率 ($P_{avg}$) 用功率谱密度 ($S(\omega)$) 表示如下：
\therefore P{avg} = \frac{1}{2\pi}\int{-\infty}^{\infty} Sx(\omega) d\omega = \int{-\infty}^{\infty} S_x(f) df
功率谱密度 (PSD) 的特征
- 它描述了信号功率在一系列频率上的分布或强度。
- 图形的形状给出了重要的特征：较窄的峰值表示信号的大部分功率集中在该特定频率上；而较宽的峰值则表示信号的大部分功率分布在较宽的频率范围内。
- 图中的峰值代表了具有较高或更高功率级别的频率。
- 它还有助于确定信号的带宽，带宽指的是能量分布的频率范围。具有较宽带宽的图意味着信号能量分布在较宽的频率范围内。
功率谱密度 (PSD) 的性质
功率谱密度的主要性质如下：
- 对称性
- PSD 与自相关函数的关系
- LTI 系统输入与输出 PSD 之间的关系
- 功率与功率谱密度 (PSD) 之间的关系
性质 1：对称性
对于实值信号，功率谱密度 (PSD) $S(\omega)$ 是对称的，即偶函数……