在统计学中，标准差 是一种广泛用于衡量给定数据集离散程度的科学度量指标。标准差的另一个名称是 均方根偏差。通常，我们用 希腊符号 σ (sigma) 来表示标准差。在这种方法下，我们需要计算给定数据集中每个数值与算术平均数之间的偏差。标准差的计算通常分为三种不同的数列：即个体数列、离散数列以及频数分布或连续数列。
- 实际平均法
- 直接法
- 简捷法或假定平均法
- 步长偏差法
目录
- 离散系列中计算标准差的方法
- 1. 实际平均法
- 2. 直接法
- 3. 简捷法或假定平均法
- 4. 步长偏差法
1. 实际平均法
在使用实际平均法时，我们需要计算每个数值与实际平均数之间的偏差，从而得出标准差。让我们通过以下步骤来通过实际平均法确定标准差：
步骤 1： 首先，利用公式 \frac{\sum{fX}}{N} 确定给定观测值的实际平均数 (\bar{X})。
步骤 2： 接下来，计算给定数列中每一项与第一步计算出的平均数之间的偏差；即计算 (X-\bar{X})。我们将这些偏差记为 x。
步骤 3： 得出偏差后，将这些偏差平方，并乘以它们各自的频数，然后计算总和；即 ∑fx²。
步骤 4： 应用以下公式：
\sigma=\sqrt{\frac{\sum{fx^2}}{N}}
其中，
σ = 标准差
∑fx² = 偏差平方乘以频数后的总和
N = 观测值的对数（即总数）
#### 示例：
让我们使用实际平均法来计算以下数据的标准差。
!信息表
#### 解答：
!标准差表
算术平均数 (\bar{X})=\frac{\sum{fX}}{N}=\frac{240}{20}=12
标准差 (σ) = \sqrt{\frac{\sum{fx^2}}{N}}=\sqrt{\frac{970}{20}}=\sqrt{48.5}=6.9
标准差 = 6.9 或 7
2. 直接法
在直接法中，我们不需要计算与实际平均数的偏差即可求出标准差。让我们来看看通过直接法确定标准差的步骤：
步骤 1： 首先，使用公式 \frac{\sum{fX}}{f} 计算给定观测值的实际平均数 (\bar{X})。
步骤 2： 现在，将观测值平方并计算它们的总和；即 ∑X²。
步骤 3： 将频数 乘以它们各自的 X² 并计算总和；即 ∑fX²。
步骤 4： 现在，应用以下公式：
\sigma=\sqrt{\frac{\sum{fX^2}}{N}-(\bar{X})^2}
或者
=\sqrt{\frac{\sum{fX^2}}{N}-(\frac{\sum{fX}}{N})^2}
其中，
σ = 标准差
∑fx² = 偏差平方乘以频数后的总和
\bar{X} = 实际平均数
N = 观测值的数量
#### 示例：
让我们使用直接法来计算以下数据的标准差。
!信息表
#### 解答：
!标准差表
算术平均数 (\bar{X})=\frac{\sum{fX}}{N}=\frac{240}{20}=12
标准差 (\sigma)=\sqrt{\frac{\sum{fX^2}}{N}-(\bar{X})^2}=\sqrt{\frac{3,850}{20}-(12)^2}
=\sqrt{192.5-144}=\sqrt{48.5}=6.9
标准差 = 6.9 或 7
3. 简捷法或假定平均法
实际平均数有时会出现分数形式，这会使标准差的计算变得复杂和困难。在这种情况下，我们建议使用简捷法来简化计算。让我们通过以下步骤来通过假定平均法确定标准差：
步骤 1： 首先，在数列中选取任意一个 X 值作为假定平均数。
步骤 2： 现在确定各项与假定平均数之间的偏差，并将这些偏差记为 d；即 d = X – A。
步骤 3： 将上一步计算出的偏差乘以它们各自的频数并计算总和；即 ∑fd。
步骤 4： 确定偏差的平方，将其乘以它们各自的频数，并获得总和；即 ∑fd²。
步骤 5： 现在，应用以下公式：
\sigma=\sqrt{\frac{\sum{fd^2}}{N}-(\frac{\sum{fd}}{N})^2}
或者
=\sqrt{\frac{\sum{fd^2}}{N}-(\frac{\sum{fd}}{N})^2}
其中，
σ = 标准差
∑fd = 偏差乘以频数后的总和
∑d² = 偏差平方乘以频数后的总和
N = 观测值的对数（即总数）
#### 示例：
让我们使用假定平均法来计算以下数据的标准差。
!信息表
#### 解答：
让我们取 A = 10 作为假定平均数。
!标准差表
标准差 (\sigma)=\sqrt{\frac{370}{20}-(\frac{40}{20})^2}=\sqrt{18.5-4}=\sqrt{14.5}=3.8
标准差 = 3.8
4. 步长偏差法
这是简化标准差计算的进一步方法。当我们有一个共同的因子存在于所有偏差中时，这一方法特别有用。步骤如下：
步骤 1： 确定假定平均数 并计算 d = X – A。
步骤 2： 将偏差 除以一个共同的因子 C，即 d‘ = (X – A) / C。
步骤 3： 计算 ∑fd‘ 和 ∑fd‘²。
步骤 4： 应用以下公式：
\sigma=C \times \sqrt{\frac{\sum{fd‘^2}}{N}-(\frac{\sum{fd‘}}{N})^2}
其中，
C = 共同因子
#### 示例：
让我们使用步长偏差法来计算以下数据的标准差。
#### 解答：
取 A = 15，C = 5。
!标准差表
标准差 (\sigma)=5 \times \sqrt{\frac{68}{20}-(\frac{-4}{20})^2}
=5 \times \sqrt{3.4-0.04}=5 \times \sqrt{3.36}=5 \times 1.83=9.15
标准差 = 9.15