在微积分的学习中，换元积分法通常被称为 u-换元法，它是我们求解积分时最常用且至关重要的方法之一。它之所以能让积分变得更容易，是因为它可以将一个复杂的积分转化为一个更易处理的形式。对于同学们来说，掌握这种方法不仅能巩固基础知识，还能为学习其他积分技巧打下坚实的基础。
什么是换元积分法？
换元积分法是定积分的一种重要技巧，通过它我们可以用一个或多个新变量来替换积分变量。简单来说，这种方法就是将被积函数的特定部分替换为一个新变量（例如 u）。
当被积函数是一个复合函数，即一个函数包含另一个函数时，这种技术非常有用。通过进行适当的替换，我们可以对积分进行变形，从而使问题更容易解决。
重要公式及相关概念
- 基本换元公式： 如果我们设 u=g(x)，那么 du=g′(x)dx。这样，积分 \int f(g(x)) g‘(x) \, dx 就可以转化为 \int f(u) \, du。
- 回代： 在对 u 进行积分之后，我们需要将 u=g(x) 代回，以便用 x 来表示最终的答案。
换元积分法的步骤
进行换元积分通常包含以下几个步骤：
> 步骤 1： 识别被积函数中可以进行替换的部分（通常是一个复合函数）。
>
> 步骤 2： 定义替换变量 u=g(x)。
>
> 步骤 3： 计算微分 du=g′(x)dx。
>
> 步骤 4： 用 u 和 du 重写积分表达式。
>
> 步骤 5： 对变量 u 进行积分。
>
> 步骤 6： 将 u=g(x) 代回，得到关于 x 的结果。
关键公式：
\int e^{ax} \, dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C
\int \sin(ax) \, dx = -\frac{1}{a} \cos(ax) + C
\int \cos(ax) \, dx = \frac{1}{a} \sin(ax) + C
\int \frac{1}{x} \, dx = \ln
+ C
让我们通过一些具体的例题来实践这些技巧。
问题 1：计算积分 \int (2x+3) \, dx
解答：
> 这个积分可以直接求解。
>
> \int (2x+3) \, dx = \int 2x \, dx + \int 3 \, dx
>
> = 2 \int x \, dx + 3 \int 1 \, dx
>
> = 2 \left(\frac{x^2}{2}\right) + 3x + C
>
> = x^2 + 3x + C
问题 2：计算积分 \int x \cos(x^2) \, dx
解答：
> 设 u = x²
>
> 则 du = 2xdx，即 xdx = 1/2du
>
> \int x \cos(x^2) \, dx = \int \cos(u) \cdot \frac{1}{2} \, du
>
> = \frac{1}{2} \int \cos(u) \, du
>
> = \frac{1}{2} \sin(u) + C
>
> = \frac{1}{2} \sin(x^2) + C
问题 3：计算积分 \int e^{3x} \, dx
解答：
> 设 u = 3x
>
> 则 du = 3dx，即 dx = 1/3 du
>
> \int e^{3x} \, dx = \int e^u \cdot \frac{1}{3} \, du
>
> = \frac{1}{3} \int e^u \, du
>
> = \frac{1}{3} e^u + C
>
> = \frac{1}{3} e^{3x} + C
问题 4：计算积分 \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx
解答：
> 设 u = ln(x)
>
> 则 du = 1/x dx，即 dx = xdu
>
> \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{x} x \, du
>
> = \int \frac{1}{u} \, du
>
> = \ln
+ C
>
> = \ln
+ C
问题 5：计算积分 \int x^2 e^{x^3} \, dx
解答：
> 设 u = x³
>
> 则 du = 3x² dx，即 x²dx = 1/3 du
>
> \int x^2 e^{x^3} \, dx = \int e^u \cdot \frac{1}{3} \, du
>
> = \frac{1}{3} \int e^u \, du
>
> = \frac{1}{3} e^u + C
>
> = \frac{1}{3} e^{x^3} + C
问题 6：计算积分 \int \cos(3x) \, dx
解答：
> 设 u = 3x
>
> 则 du = 3dx，即 dx = 1/3 du
>
> \int \cos(3x) \, dx = \int \cos(u) \cdot \frac{1}{3} \, du
>
> = \frac{1}{3} \int \cos(u) \, du
>
> = \frac{1}{3} \sin(u) + C
>
> = \frac{1}{3} \sin(3x) + C
问题 7：计算积分 \int x \sqrt{x^2 + 1} \, dx
解答：
> 设 u = x² + 1
>
> 则 du = 2xdx，即 xdx = 1/2 du
>
> \int x \sqrt{x^2 + 1} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} \, du
>
> = \frac{1}{2} \int u^{1/2} \, du
>
> = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C
>
> = \frac{1}{3} (x^2 + 1)^{3/2} + C
问题 8：计算积分 \int \sin(\ln(x)) \, dx
解答：
> 设 u = ln(x)
>
> 则 du = 1/x dx，即 dx = xdu
>
> \int \sin(\ln(x)) \, dx = \int \sin(u) x \, du
>
> 因为 x = e^u，
>
> \int \sin(\ln(x)) \, dx = \int \sin(u) e^u \, du
>
> 我们可以利用分部积分法来解这个积分。设 v = e^u，dv = e^u du，以及 w = sin(u)，dw = cos(u)du。
>
> \int \sin(u) e^u \, du = -e^u \cos(u) + \int e^u \cos(u) \, du
>
> 我们再次使用分部积分法求解 \int e^u cos(u)du。设 v = e^u，dv = e^u du，以及 w = cos(u)，dw = −sin(u)du。
>
> \int e^u \cos(u) \, du = e^u \sin(u) + \int e^u \sin(u) \, du