角平分线定理指出，三角形的角平分线将三角形的对边分成两部分，这两部分与三角形的另外两条边成比例关系。在本文中，我们将详细探讨角平分线定理，包括角平分线定理公式、角平分线定理的证明以及角平分线定理的类型。我们还将讨论角平分线定理的逆定理，并解决一些与角平分线定理相关的示例。让我们开始学习“角平分线定理”这一主题吧。
目录
- 什么是角平分线定理？
- 角平分线定理的类型
- 角平分线定理的证明
- 角平分线定理的逆定理
- 角平分线定理例题解析
什么是角平分线定理？
角平分线定理指出，任意角的角平分线与其对边相交，将该对边分成的两条线段之比等于三角形另外两条边之比。将角分成两个相等部分的线段称为角平分线。角平分线定理适用于三角形、四边形等图形。
角平分线定理公式
对于给定的三角形 ABC，
!Angle-Bisector-Theorem角平分线定理
角平分线定理的公式如下：
> \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{BC}
角平分线定理的类型
角平分线定理主要有两种类型：
- 内角平分线定理
- 外角平分线定理
内角平分线定理
内角平分线定理指出，角平分线将由两条边形成的内角分成两部分，其对边被分成的两段之比等于另外两边之比。如果 PS 是三角形 PQR 中角 P 的角平分线，边长为 PQ、PR 和 QS，那么内角平分线定理公式如下：
> QS / SR = PQ / PR
外角平分线定理
外角平分线定理指出，外角的平分线将第三边外分，分成的两段之等于形成该角的另外两条边之比。如果 PR 是三角形 PQR 中角 P 的外角平分线，边长为 PQ、PR 和 QS，那么外角平分线定理公式如下：
> PQ /PS = QR / SR
角平分线定理的证明
下面我们将讨论这两种角平分线定理的证明。
内角平分线定理证明
考虑下图三角形 PQR 及其内角平分线 PS
!nterior Angle Bisector Proof角平分线定理证明
求证： QS / SR = PQ / PR
如图所示，画一条平行于 PS 的直线 RT，并延长 T 使其与 P 相交。
PR 是 RT || PS 的截线。根据性质，内错角相等。
∠ SPR = ∠ PRT [内错角] ——-(1)
∠QPS = ∠PTR [同位角] ——-(2)
在图中，PS 是角 P 的平分线。
∠QPS = ∠ SPR ——(3)
由 (2) 和 (3) 可得
∠PTR = ∠ SPR ——(4)
由 (1) 和 (4) 可得
∠PRT = ∠PTR ——(5)
方程 (5) 意味着三角形 PQR 是等腰三角形，且 PS = PR。
现在，根据比例定理（平行线分线段成比例）：
QS / SR = PQ / PS
因为，PS = PR
QS / SR = PQ / PR
得证
外角平分线定理证明
考虑下图三角形 PQR，PR 是角 QPS 的外角平分线，与 QS 相交于 R。
!Exterior Angle Bisector Proof
求证： QS / SR = PQ / PS
画 ST || PR，使得 S 与直线 PQ 相交于点 T。
PS 是 ST || PR 的截线
∠ TSP = ∠ SPR [内错角相等] ——-(1)
∠ STP = ∠ RPA [同位角] ——–(2)
PR 是 ∠SPA 的角平分线
∠SPR = ∠RPA ——–(3)
由 (2) 和 (3) 可得
∠STP = ∠SPR ——–(4)
由 (1) 和 (4) 可得
∠TSP = ∠ STP ———(5)
由 (5) 我们可以得出结论，三角形 TPS 是等腰三角形，且 PT = PS。
现在根据比例定理
QT / TP = QS / SR
两边同时加 1
(QT / TP) + 1 = (QS / SR) + 1
(QT + TP) / TP = (QS + SR) / SR
PQ / TP = QR / SR
因为，TP = PS
PQ /PS = QR / SR
得证
角平分线定理的逆定理
角平分线定理的逆定理指出：
如果一条线段经过三角形的一个顶点，并将对边分成的两部分与三角形的另外两条边成比例，那么该线段与对边的交点位于该顶点的角平分线上。
在三角形 ABC 中，如果 AB 和 AC 是三角形的两条边，AD 与 BC 相交于 D，那么根据角平分线定理的逆定理
> 如果 AB /AC = BD / CD，那么 AD 是角 A 的角平分线
角平分线定理逆定理的证明
考虑下图三角形 PQR 及其内部