源内容（英文）
零点，也称为根，是指使多项式方程 P(x)=0 成立的 x 值。这些值在各种应用中至关重要，从解方程到分析多项式函数的行为。
求多项式的零点可能涉及不同的方法，例如因式分解、使用有理根定理、综合除法，或者对更复杂的多项式应用数值技术。
在本文中，我们将讨论关于多项式零点概念的各种练习题。
什么是多项式？
多项式是一种数学表达式，由变量、系数和指数通过加法、减法和乘法运算组合而成。多项式中的指数是整数（非负整数），系数通常是实数，尽管它们也可以是复数。
一个关于变量 x 的 多项式 通常写作：
> P(x) = an x^n + a{n-1} x^{n-1} + \ldots + a1 x + a0
其中：
- an, an-1, . . ., a1, a0 是系数。
- n 是一个非负整数，表示多项式的次数（变量的最高次幂）。
- an 是首项系数，a0 是常数项。
多项式的零点
> 多项式的零点，也称为多项式的根，是使多项式等于零的变量值。换句话说，如果 P(x) 是一个多项式，那么如果 P(r)=0，则 x=r 就是该多项式的一个零点。
与多项式零点相关的重要结论
- 余数定理 指出，当一个多项式 P(x) 除以一个线性多项式 x -a 时，余数等于 P(a)。
- 因式定理 指出，对于多项式的任意一个根，即 x = a，那么 (x – a) 是该多项式的一个因式。
- 有理根定理 指出，多项式 P(x) = anx^n + \ldots + a1x + a_0 的任何有理零点都具有 \pm \frac{p}{q} 的形式，其中 p 是常数项 a0 的因数，q 是首项系数 an 的因数。
多项式零点例题详解
问题 1：求多项式 p(x) = x2 – 5x + 6 的零点。
解：
> p(x) = x2 – 5x + 6
>
> ⇒ x2 – 5x + 6 = 0
>
> ⇒ (x – 2)(x – 3) = 0
>
> x – 2 = 0 或者 x – 3 = 0
>
> ⇒ x = 2 或 x = 3
>
> 因此，多项式 p(x) = x2 – 5x + 6 的零点是 x = 2 和 x = 3。
问题 2：求多项式 p(x) = x3 – 4x2 + x + 6 的零点。
解：
> p(x) = x3 – 4×2 + x + 6
>
> 可能的有理零点是 ± 1, ± 2, ± 3, ± 6。
>
> 当 x = 1 时：
>
> p(1) = 13 – 4(1)2 + 1 + 6 = 1 – 4 + 1 + 6 = 4 （不是零点）
>
> 当 x = 2 时：
>
> p(2) = 23 – 4(2)2 + 2 + 6 = 8 – 16 + 2 + 6 = 0 （是零点）
>
> 使用综合除法或多项式除法：
>
> x3 – 4×2 + x + 6 = (x – 2)(x2 – 2x – 3)
>
> 因为 x2 – 2x – 3 = (x – 3)(x + 1)
>
> 因此，x3 – 4×2 + x + 6 = (x – 2)(x – 3)(x + 1)
>
> x – 2 = 0 或 x – 3 = 0 或 x + 1 = 0
>
> x = 2, 或 x = 3 或 x = -1
>
> 所以，多项式 p(x) = x3 – 4×2 + x + 6 的零点是 x = 2, 3, -1。
问题 3：求多项式 p(x) = x4 – 5x3 + 6x2 的零点。
解：
> p(x) = x4 – 5×3 + 6×2
>
> ⇒ p(x) = x2(x2 – 5x + 6)
>
> 因为 x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)
>
> 因此，p(x) = x2(x – 2)(x – 3)
>
> 现在，x2 = 0 或 x – 2 = 0 或 x – 3 = 0
>
> x = 0（重数为 2）或 x = 2 或 x = 3
>
> 所以，多项式 p(x) = x4 – 5×3 + 6×2 的零点是 x = 0（重数为 2），x = 2 和 x = 3。
例题 4：通过因式分解求解 P(x) = x3 – 6x3 – 6x + 36 的零点。
解：
> P(x) = x3 – 6×3 – 6x + 36
>
> 注意到我们可以分组并使用分组分解法：
>
> P(x) = (x3 – 6×3 ) – (6x – 36)
>
> 提取公因式：
>
> = x2(x – 6) – 6(x – 6)
>
> = (x – 6)(x2 – 6)
>
> 多项式的零点是使 P(x) = 0 的 x 值：
>
> (x – 6)(x2 – 6) = 0
>
> x – 6 = 0 ⇒ x = 6
>
> 或者 x2 – 6 = 0 ⇒ x = ±√6
>
> 因此，零点为 6, √6, -√6。
问题 5：使用综合除法判断 x = 2 是否为 P(x) = 2x3 + 3x2 – 5x + 6 的零点，并求出其余零点。
解：
> 使用综合除法检验 x = 2：
>
> 建立综合除法算式：
>
> \begin{array}{r|rrrr}
> 2 & 2 & 3 & -5 & 6 \\
> & & 4 & 14 & 18 \\
> \hline
> & 2 & 7 & 9 & 24
> \end{array}
>
> 余数为 24，这意味着 x = 2 不是该多项式的零点。
问题 6：求多项式 P(x) = 2x3 – 的所有可能的有理零点。
（注：原文此处中断，暂无完整内容可译。）