概述
平行线、垂直线和相交线是根据其性质划分的成对直线的三个常见类别。为了帮助大家更好地掌握这些概念，我们准备了一套包含练习题的工作表。这篇文章不仅提供了相关的练习，还包含了公式解析和详细的解答示例，旨在帮助大家理解如何解决关于平行、垂直和相交线的各类问题。
平行、垂直和相交线公式
下面我们列出了处理平行、垂直和相交线时常用的公式：
> 斜率公式：
> – 一条经过点 \((x1, y1)\) 和 \((x2, y2)\) 的直线的斜率 \(m\) 计算如下：
> – \(m = (y2 – y1)/(x2 – x1)\)
> 平行线：
> – 当且仅当两条直线的斜率相等时，它们才平行。也就是说，如果两条直线的斜率分别为 \(m1\) 和 \(m2\)
> – 当 \(m1 = m2\) 时，它们是平行的。
> 垂直线：
> – 如果两条直线斜率的乘积为 -1，则它们垂直。也就是说，如果两条直线的斜率分别为 \(m1\) 和 \(m2\)
> – 当 \(m1 \times m2 = -1\) 时，它们是垂直的。
> 相交线：
> – 相交线具有唯一的解。
> – 两条直线的交点可以通过联立求解它们的方程得到。
1: 判定直线 \(y = 2x + 3\) 和 \(y = 2x – 4\) 是平行、垂直还是都没有关系。
> 为了判定两条直线是平行、垂直还是都没有关系，我们可以观察它们的斜率。
>
> 对于形如 \(y = mx + b\) 的直线，其斜率为 \(m\)。
>
> 对于直线 \(y = 2x + 3\)，斜率为 \(m=2\)。
>
> 对于直线 \(y = 2x – 4\)，斜率也是 \(m=2\)。
>
> 因为两条直线的斜率相同，均为 2，所以它们是平行的。
2: 求经过点 \((3, 5)\) 且平行于直线 \(2x – 3y = 6\) 的直线方程。
> 为了找到经过点 \((3, 5)\) 且平行于直线 \(2x – 3y = 6\) 的方程，我们需要先求出给定直线的斜率，然后利用这个斜率来构造平行线的方程。
>
> 首先，我们将给定直线的方程重排为斜截式（\(y = mx + b\)）：
>
> \(2x – 3y = 6\)
>
> \(-3y = -2x + 6\)
>
> \(y = \frac{2}{3}x – 2\)
>
> 这条直线的斜率是 \(m= \frac{2}{3}\)。
>
> 因为我们要求的直线与这条线平行，所以它具有相同的斜率。因此，平行线的斜率也是 \(m = \frac{2}{3}\)。
>
> 现在，我们可以使用直线的点斜式方程来求出这条平行线的方程：
>
> \(y – y1 = m(x – x1)\)
>
> 其中 \((x1, y1)\) 是给定点 \((3, 5)\)，\(m\) 是斜率 \(\frac{2}{3}\)。
>
> 代入 \(x1 = 3\), \(y1 = 5\)，和 \(m = \frac{2}{3}\)，我们得到：
>
> \(y – 5 = \frac{2}{3}(x – 3)\)
>
> 现在，我们可以简化这个方程以得到最终形式：
>
> \(y – 5 = \frac{2}{3}(x – 3)\)
>
> \(y = \frac{2}{3}x – 2 + 5\)
>
> 所以，经过点 \((3, 5)\) 且平行于直线 \(2x – 3y = 6\) 的直线方程是 \(y = \frac{2}{3}x + 3\)。
3: 判定直线 \(3x + 2y = 8\) 和 \(6x + 4y = 10\) 是平行、垂直还是都没有关系。
> 为了判定两条直线是平行、垂直还是都没有关系，我们可以比较它们的斜率。
>
> 首先，让我们将两个方程都重排为斜截式（\(y = mx + b\)）：
>
> 对于 \(3x + 2y = 8\):
>
> \(2y = -3x + 8\)
>
> \(y = -\frac{3}{2}x + 4\)
>
> 对于 \(6x + 4y = 10\):
>
> \(4y = -6x + 10\)
>
> \(y = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{2}\)
>
> 比较两条直线的斜率，我们发现两条直线具有相同的斜率，即 \(-\frac{3}{2}\)。
>
> 因为两条直线的斜率相同，所以它们是平行的。
4: 求垂直于直线 \(y = 4x – 1\) 且经过点 \((2, -3)\) 的直线方程。
> 为了找到垂直于
>
> \(y = 4x – 1\) 且经过点 \((2, -3)\) 的直线方程，我们需要先确定给定直线的斜率。
>
> 给定直线已经是斜截式
>
> \(y = mx + b\)，其中
>
> \(m\) 是斜率。在这种情况下，给定直线的斜率是 \(m=4\)。
>
> 任何垂直于这条线的直线的斜率将是 4 的负倒数。因此，垂直线的斜率将是 \(-\frac{1}{4}\)。
>
> 现在，我们可以使用直线的点斜式来求这条垂直线的方程。直线的点斜式为
>
> \(y – y1 = m(x – x1)\)，
>
> 其中 \((x1, y1)\) 是直线上的一个点，\(m\) 是斜率。
>
> 已知垂直线上的一个点 \((2, -3)\) 和斜率 \(m = -\frac{1}{4}\)。将这些值代入点斜式，我们得到： \(y – (-3) = -\frac{1}{4}(x – 2)\)
>
> 简化: \(y + 3 = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2}\)
>
> 现在，我们可以通过分离 \(y\) 将此方程重写为斜截式：
>
> \(y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} – 3\)
>
> \(y = \)