函数的导数是指函数相对于自变量的变化率。在微积分中，给定函数的导数是使用微分第一性原理（First Principle）求得的。求函数导数的过程也被称为函数的微分。
函数的导数给出了函数在微分特定点的斜率，并用于求函数的极值。它也可以定义为函数在其定义域内任意一点处的变化率。如果一个函数 f(x) 在某一点 x = a 处连续，则它在该点可导。
目录
- 什么是函数的导数
- 微分第一性原理
- 函数导数的几何解释
- 如何求函数的导数？
- 标准函数的导数
- 常数函数的导数
- 指数函数的导数
- 三角函数的导数
- 绝对值函数的导数
- 对数函数的导数
- 反函数的导数公式
- 隐函数的导数
- 复合函数的导数
- 导数的代数运算
- 导数公式
- 导数法则示例
- 练习题：函数的导数
在本文中，我们将详细学习函数的导数、微分第一性原理、三角函数的微分、指数函数的微分以及其他相关内容。
导数是函数在其定义域内任意特定点的斜率。 我们知道每个函数都代表空间中的一条曲线，函数在任意特定点的导数代表该函数在该点的斜率。对于任何函数 f(x)，如果该函数的微分存在，则称其可导，记为 f‘(x) 或 df(x)/dx。我们也可以将函数表示为 y = f(x)，那么
> 函数的导数表示为 f‘(x) 或 y‘ 或 dy/dx
这被称为 y 关于 x 的导数。
函数的导数也定义为函数在其定义域内任意一点处的变化率。
阅读更多：
> – 数学中的微积分
> – 如何求函数的导数
> – 函数导数的代数运算
微分第一性原理
假设函数 f(x) 在 ‘a‘ 的邻域内有定义。如果 a 和 a + h 属于函数 f(x) 的定义域，则函数在 x = a 处的微分由下式给出：
> f‘(a) = lim x→a {f(x + h) – f(x)}/h
这就是所谓的微分第一性原理。我们利用这个第一性原理来求函数在任意给定点的导数，这个导数给出了函数在该特定点的斜率。
注意： 如果 f(x) 的导数存在，则称函数 f 是可微的或可导的。微分是求导的过程。
函数导数的几何解释
考虑下图，
函数 f(x) 定义在开区间 (a, b) 上。设 P[c, f(c)] 是曲线 y = f(x) 上的一点。设 Q[(c – h), f(c – h)] 和 R[c + h, f(c + h)] 是点 P 两侧的点。现在，
弦 PQ 的斜率为，{f(c – h) – f(c)} / (-h)
弦 PR 的斜率可以写为，{f(c + h) – f(c)} / h
现在，我们知道曲线在点 P 处的切线是当 Q 趋近于 P 时割线 PQ 的极限位置。
类似地，它也是当 R 趋近于 P 时割线 PR 的极限位置。
∴ 当 h⇢ 0 时，点 Q 和 R 分别从左侧和右侧趋近于 P。
∴ 点 P 处的切线斜率为，
P = \lim_{Q \to P}
\lim_{h \to 0}
\lim_{Q \to P}
\frac{f(c + h) – f(c)}{h}
如果这些极限存在且相等，则在点 P 处有唯一的切线。
切线的斜率记为 dy/dx，即 f‘(x)
因此，
f‘(x) = lim x→a {f(x + h) – f(x)}/h = lim x→a {f(x + h) – f(x)}/{-h}
为了求函数的导数，我们使用第一性原理公式，即对于任何给定的函数 f(x)，若要求其在 x = a 处的导数，第一性原理公式为：
f‘(x) = lim x→a {f(x + h) – f(x)}/h
对上述式子进行简化，我们就得到了函数在其定义域内任意一点的所需导数。
一些 s