一阶导数测试是微积分中的一项基本技术，我们用它来分析函数的临界点，并确定函数在这些点是取得了相对极大值还是极小值。它的核心原理是观察函数斜率在临界点两侧的符号变化。由于极值点两侧的斜率可能是正的也可能是负的，通过研究这种变化，我们可以确定极值的性质。
> 定理： 如果 f‘(x) 在区间 [a, b] 内存在，且函数 f(x) 在 x = x0 ∈ (a, b) 处取得最大值或最小值，那么 f‘(x0) = 0。函数定义域内满足 f‘(x0) = 0 的点 x0 被称为临界点。
一阶导数测试的条件
假设 f(x) 是定义在区间 I 上的可微函数，且 x0 ∈ I 以及 f‘(x0) = 0。
1) 如果满足以下条件，x0 是 f(x) 的局部极大值点：
- 当 x 增加并经过 x0 时，f‘(x) 的符号由正变负，即在 x0 左侧 f‘(x) > 0，而在右侧 f'(x) < 0。
2) 如果满足以下条件，x0 是 f(x) 的局部极小值点：
- 当 x 增加并经过 x0 时，f‘(x) 的符号由负变正，即在 x0 左侧 f‘(x) 0。
3) 如果当 x 增加经过 x0 时，f‘(x) 的符号没有改变，那么 x0 既不是局部极大值点也不是局部极小值点。这样的点被称为拐点。
极大值和极小值的一阶导数测试
利用一阶导数测试，我们可以找到任何给定函数的局部极大值和极小值。让我们先来理解一下什么是极大值和极小值。
极大值（Maxima）
- 设 f 是定义在区间 I 上的实值函数。如果 x0 ∈ I 且对于 I 中的所有 x 都有 f(x0) ≥ f(x)，则称 f(x) 在 I 上于 x0 处取得极大值。
- 给定的 f(x0) 值被称为 f(x) 的极大值。
极小值（Minima）
- 设 f 是定义在区间 I 上的实值函数。如果 x0 ∈ I 且对于 I 中的所有 x 都有 f(x0) <= f(x)，则称 f(x) 在 I 上于 x0 处取得极小值。
- 给定的 f(x0) 值被称为 f(x) 的极小值。
拐点（Inflection Point）
对于任意函数 f(x)，如果某点的二阶导数为 0 或不存在，并且二阶导数的符号由正变负或由负变正，则该点被称为拐点。
一阶导数测试的步骤
我们可以按照以下步骤来执行一阶导数测试。
> 步骤 1： 求出给定函数的一阶导数。
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> 步骤 2： 将一阶导数设为 0 并解出因变量，以找到临界点。
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> 步骤 3： 借助临界点和函数的定义域，确定函数图像斜率为正和为负的区间。
>
> 步骤 4： 检查导数在临界点附近的符号。
>
> 步骤 5： 根据以下情况确定极值：
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> – 如果当从左向右经过临界点时，一阶导数的符号由正变负，则该函数在该临界点处取得局部极大值。
> – 如果当从左向右经过临界点时，一阶导数的符号由负变正，则该函数在该临界点处取得局部极小值。
> – 如果一阶导数在临界点处没有改变符号（无论正负），则一阶导数测试失效，需要使用进一步的测试，例如二阶导数测试。
如何执行一阶导数测试？
要执行一阶导数测试，我们可以使用以下步骤：
> 步骤 1： 求出函数 f(x) 的 f‘(x)。
>
> 步骤 2： 令 f‘(x) = 0 并解此方程，得到 x 的不同值，例如 a, b, c….
>
> 步骤 3： 为了测试点 x = a，确定 f‘(x) 在略小于 a 和略大于 a 的值处的符号，并查看以下哪种条件成立：
>
> – 如果 f‘(x) 的符号由正变负，则 x = a 是局部极大值点，且 f(a) 是局部极大值。
> – 如果 f‘(x) 的符号由负变正，则 x = a 是局部极小值点，且 f(a) 是局部极小值。
> – 如果 f‘(x) 没有改变符号，则 x = a 是一个拐点。
>
> 步骤 4： 同理，对点 x = b, x = c 等重复此测试。
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