Sec平方x的导数是 $2sec^2xtanx$。$Sec^2x$ 是三角函数正割 x 的平方，通常写作 sec x。
在这篇文章中，我们将讨论 $sec^2x$ 的导数，包括使用链式法则和商式法则等多种求解方法，并附有例题和一些练习题。
什么是 Sec2x 的导数？
$sec^2x$ 的导数是 $2sec^2xtanx$。$sec^2x$ 是一个复合函数，涉及对三角函数的代数运算。函数的导数给出了函数值相对于输入变量（即 x）的变化率。
在链式法则中，如果我们需要求 $f(g(x))$ 的导数，其结果为 $f‘(g(x)) \times g‘(x)$。链式法则是微分微积分中最基础和最常用的概念之一。$sec^2x$ 的导数公式可以写成如下形式：
Sec2x 的导数公式
$sec^2x$ 的导数公式如下：
> $d/dx[sec^2x] = 2sec^2x.tanx$
我们也可以将其表示为：
> $(sec^2x)‘ = 2sec^2x.tanx$
另请参阅： 三角函数
它可以通过以下方法推导得出：
- 微分链式法则
- 商式法则
- 导数第一性原理
现在让我们详细了解它们。
阅读： 数学中的微积分
Sec2x 导数的证明
求 $sec^2x$ 导数有两种主要方法：
使用微分链式法则求 Sec2x 的导数
微分链式法则指出，对于复合函数 $f(g(x))$，
> $[f{g(x)}]‘ = f‘{g(x)} \times g‘(x)$
因此，对 $f(x) = sec^2x$ 应用链式法则，我们得到，
$\Rightarrow f‘(x) = 2secx \times (secx)‘$
$\Rightarrow f‘(x) = 2secx \times (secx.tanx)$
$\Rightarrow f‘(x) = 2sec^2x.tanx$
因此，我们已经使用链式法则推导出了 $f(x) = sec^2x$ 的导数。
使用商式法则求 Sec2x 的导数
微分中的商式法则指出，
对于两个函数 u 和 v，$(u/v)$ 的微分求法如下，
> $(u/v)‘ = (vu‘ – uv‘)/v^2$
现在 $f(x) = sec^2x$ 可以写成 $f(x) = 1/cos^2x$
对 $f(x) = 1/cos^2x$ 应用商式法则，我们得到，
$\Rightarrow f‘(x) = (cos^2x(1)‘ – (1)(cos^2x)‘)/(cos^4x)$
现在，我们知道 $(cosx)‘ = -sinx$
$\Rightarrow f‘(x) = [-2cosx.(-sinx)]/(cos^4x)$
进行简化，我们得到
$\Rightarrow f‘(x) = 2sec^2x.tanx$
因此，我们通过商式法则获得了相同的 $sec^2x$ 导数结果。
使用导数第一性原理求 Sec2x 的导数
微分第一性原理指出，函数 $f(x)$ 的导数定义为，
> $f‘(x) = \lim_{h\to 0} [f(x + h) – f(x)]/[(x + h) – x]$
这也可以表示为，
> $f‘(x) = \lim_{h\to 0} [f(x + h) – f(x)]/ h$
代入 $f(x) = sec^2x$，为了求 $sec^2x$ 的导数，我们得到，
$\Rightarrow f‘(x) = \lim_{h\to 0} [sec^2(x + h) – sec^2x]/ h$
$\Rightarrow f‘(x) = \lim_{h\to 0} (sec(x+h) + sec(x)).(sec(x+h) – sec(x))/h$
$\Rightarrow f‘(x) = \lim_{h\to 0} (sec(x+h) + sec(x)).(1/cos(x+h) – 1/cos(x))/h$
$\Rightarrow f‘(x) = \lim_{h\to 0} (sec(x+h) + sec(x)).(cos(x) – cos(x+h))/hcos(x+h)cos(x)$
利用 $cos(A + B) = cosAcosB – sinAsinB$，我们得到，
$\Rightarrow f‘(x) = \lim_{h\to 0} (sec(x+h) + sec(x)).(cosx – cosxcosh + sinxsinh)/hcos(x+h)cos(x)$
$\Rightarrow f‘(x) = \lim_{h\to 0} (sec(x+h) + sec(x)).(cosx(1 – cosh) + sinxsinh)/hcos(x+h)cos(x)$
现在，代入 $\lim{h\to 0}(1-cosh)/h = 0$ 和 $\lim{h\to 0}(sinh)/h = 1$，我们得到，
$\Rightarrow f‘(x) = \lim_{h\to 0}(sec(x+h) + sec(x)).(sinx)/cos(x+h)cosx$
$\Rightarrow f‘(x) = (sec(x+0) + sec(x)).(sinx)/cos(x+0)cosx$
$\Rightarrow f‘(x) = (2secxsinx)/cos^2x$
> $\Rightarrow f‘(x) = 2sec^2xtanx$
因此，已经利用微分第一性原理推导出了 $sec^2x$ 的导数。
阅读更多，
> – 数学中的导数
> – 正割x的导数
> – 三角函数的导数
关于 Sec2x 导数的示例
关于 $sec^2x$ 导数的各种示例
示例 1：求 $f(x) = sec^2(x^2+9)$ 的导数
解决方案：
> 我们有 $f(x) = sec^2(x^2+9)$
>
> 应用链式法则，
>
> $\Rightarrow f‘(x) = 2sec^2(x^2+9)\times tan(x^2+9)\times (x^2+9)‘
>
> $\Rightarrow f‘(x) = 2sec^2(x^2+9)\times tan(x^2+9)\times (2x)
>
> $\Rightarrow f‘(x) = 4x.sec^2(x^2+9).tan(x^2+9)$
示例 2：求 $f(x) = x.sec^2x$ 的导数
解决方案：
> 我们有 $f(x) = xsec^2x$
>
> 应用积法则，
>
> $\Rightarrow f‘(x) = x(sec^2x)‘ + (x)‘sec^2x$
>
> $\Rightarrow f‘(x) = x.2sec^2xtanx + sec^2x$
>
> $\Rightarrow f‘(x) = sec^2x(2xtanx + 1)$