等腰三角形是指至少有两条边长度相等的三角形。等腰直角三角形、黄金三角形，以及双棱锥体和某些加泰罗尼亚多面体的面，都是等腰三角形的典型例子。
> 定理陈述： 等腰三角形中，与相等边（即等边）所对的角也相等。
证明：
!1等腰三角形 ABC
> 已知： 给定一个等腰三角形 ABC，其中边 AB 的长度等于边 AC 的长度。
>
> 因此，AB = AC
>
> 作图辅助：
>
> 让我们画出 ∠A 的角平分线。
>
> 设 D 为该角平分线与底边 BC 的交点。
>
> 因此，根据作图，∠BAD = ∠CAD。
>
> 在 △BAD 和 △DAC 中，
>
> AB = AC（已知）
>
> ∠BAD = ∠CAD（作图所得）
>
> AD = AD（两个三角形的公共边）
>
> 因此，△BAD ≅ △CAD（根据 SAS 边角边全等规则）
>
> 因此，∠ABD = ∠ACD，因为它们是全等三角形的对应角。
>
> 即 ∠B = ∠C
>
> 证毕： 我们证明了等腰三角形中等边所对的角相等。
注意： 这个定理的逆命题同样成立：如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
基于该定理的例题解析
例题 1： 如下图所示，E 和 F 分别是等腰三角形 ABC 中两条相等边 AB 和 AC 的中点。证明：BF = CE。
!2
> 已知：
>
> 边 AB 的长度 = AC
>
> 求证： BF = CE
>
> 让我们观察 △ABF 和 △ACE，
>
> AB = AC（已知）
>
> ∠A = ∠A（公共角）
>
> AF = AE（等边的一半）
>
> 因此，△ABF ≅ △ACE（根据 SAS 规则）
>
> 由于两个三角形全等，它们的对应边相等。
>
> 因此，BF = CE（根据 CPCT：全等三角形对应边相等）
例题 2： 已知 △ABC 的周长为 13 厘米，且 ∠ABC = ∠ACB，边 BC 的长度为 3 厘米。求边 AB 和 AC 的长度。
!3
> 已知：
>
> BC = 3cm，△ABC 的周长 = 13cm
>
> ∠ABC = ∠ACB
>
> 由于 ∠ABC = ∠ACB，我们可以应用定理（逆定理）：三角形中等角对等边。
>
> 因此，边 AB 的长度 = AC。
>
> 设边 AB 的长度为 x。
>
> 因此，周长 = AB + BC + AC
>
> 13 = x + 3 + x （因为 AB = AC）
>
> 13 = 2x + 3
>
> 13 – 3 = 2x
>
> 10/2 = x
>
> 因此 x = 5
>
> 所以，边 AB 和 AC 的长度均为 5 厘米。
相关文章：
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练习题
- 在三角形 ABC 中，AB = AC 且 ∠B = 45°。求 ∠C。
- 在三角形 DEF 中，DE = DF 且 ∠D = 70°。求 ∠E 和 ∠F。
- 在三角形 GHI 中，GH = GI 且 ∠H = 30°。求 ∠I。
- 在三角形 JKL 中，JK = JL 且 ∠K = 55°。求 ∠L。
- 在三角形 MNO 中，MN = MO 且 ∠N = 75°。求 ∠O。
- 在三角形 PQR 中，PQ = PR 且 ∠P = 40°。求 ∠Q 和 ∠R。
- 在三角形 STU 中，ST = SU 且 ∠S = 60°。求 ∠T 和 ∠U。
- 在三角形 VWX 中，VW = VX 且 ∠V = 50°。求 ∠W 和 ∠X。
- 在三角形 YZA 中，YZ = YA 且 ∠Y = 35°。求 ∠Z 和 ∠A。
- 在三角形 BCD 中，BC = BD 且 ∠B = 80°。求 ∠C 和 ∠D。