二项式系数是表示为 nCk 的正整数，其中 n ≥ k ≥ 0。接下来，让我们深入探讨二项式系数的一些重要性质。
- nCk 的值代表了从 n 个元素中选取 k 个组合的可能性数量。
- nCk 的计算公式是 n! / {k! (n – k)!}，其中 "!" 代表 阶乘。
- 这些系数构成了二项式定理的基础，该定理给出了展开形如 (a + b)n = nC0anb0 + nC1an-1b1 + nC2an-2b2 + …. + nCran-rbr + …. + nCna0bn 表达式的公式。例如，(x + y)3 中的二项式系数分别是 1, 3, 3 和 1。
- 二项式系数展示在 帕斯卡三角形 中。在 (a + b)n 的展开式中，行对应于系数。这展示了系数的几何性质。
!<a href="https://media.geeksforgeeks.org/wp-content/uploads/20241022152045917526/Binomial-Coefficient.webp">Binomial-Coefficient二项式系数
任意一行的每个系数都是由上一行中两个系数相加得到的，一个是紧邻左侧的系数，另一个是紧邻右侧的系数，且每一行的两端都以 1 为边界。
第 (r + 1) 项或通项公式如下：
> Tr + 1 = nCr an – r br
它们决定了当表达式被提升为 整数 次幂时，展开式中每一项的权重。
它们有多种形式，包括：
- 二项式系数: 将 看作组合的传统方式，是通过应用以下公式确定的： = n! / k! × (n-k)!
- 帕斯卡三角形: 它直观地展示了二项式系数，有助于快速计算并展示了对称性和规律。
- 多项式系数: 它将二项式系数扩展到将多项式展开为多项式表达式。
二项式展开中的每一项都有一个系数，称为二项式系数。对于像 an-kbk 这样的项，在 (a + b)n 中，其系数表示为 (n k)，可以使用上述指定的二项式定理公式计算得出。
理解二项式展开中的系数
1. 记法: 将二项式系数表示为 nCk，其中 ‘n‘ 代表幂，‘k‘ 表示展开式中的项。
2. 含义: 二项式定理指出，当展开一个二项式时，如果第一项的指数是 (n-k)，第二项的指数是 k，那么系数 (nCk) 代表了乘数。
3. 计算: 公式 nCk = n! / [k! × (n – k)! ] 用于计算二项式系数。阶乘，用 "!" 表示，是指将一个数乘以所有比它小的正整数。
二项式定理
二项式定理 提供了一种展开代数表达式（如 (x + y)n）的方法。这种展开将涉及 x 和 y 指数的项分解为求和形式，并为展开式中的每一项分配系数。
> 二项式定理解释了二项式幂次的代数展开。它指出 (x + y)n 可以展开为形如 axb × yc 的项之和，其中包含特定的系数和指数。
二项式定理公式
如果 a 和 b 是实数，n 是正整数，那么：
> (a + b)n = nC0an + nC1an – 1 b1+ nC2an – 2 b2 + . . . + nCran – r br + … + nCnbn
其中，
nCr = n! / r! (n-r)! （适用于 0 ≤ r ≤ n）
例如，
(x + y)4 = x4+ 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
系数取决于 n，且指数为非负整数，其和为 n。
关于二项式展开的重要观察
一些重要的观察结论…