部分分式积分法是积分方法中的一种，我们使用它来求有理函数的积分。在部分分式分解中，我们将一个看起来“非真”的有理函数分解为多个真有理函数的和。
如果 f(x) 和 g(x) 是多项式，且 g(x) ≠ 0，那么 f(x)/g(x) 被称为有理函数。
- 如果 f(x) 的次数 < g(x) 的次数，则 f(x)/g(x) 被称为真有理函数。
- 如果 f(x) 的次数 > g(x) 的次数，则 f(x)/g(x) 被称为假有理函数。
> 例如， 有理函数 1/(x2-4) 可以写成 1/4(x-2) -1/4(x+2)，有理函数 3x/(x2+x-2) 可以写成 1/(x-1) + 2/(x+2)。
何时使用部分分式
当我们要对有理函数 P(x)/Q(x) 进行积分时，可以使用部分分式分解，前提是满足以下条件：
- P(x) 的次数小于 Q(x) 的次数：如果不然，请先进行多项式长除法。
- Q(x) 可以在实数范围内因式分解为线性因子和/或不可约二次因子。
为了计算积分 ∫[p(x)/q(x)] dx，其中 p(x)/q(x) 是真有理分式，我们可以对分母即 q(x) 进行因式分解，然后利用以下有理分式情况，我们将被积函数写成包含常数 A、B、C 等的更简单有理函数的和的形式。然后，我们可以使用各种代数方法求得 A、B、C 等的值。
!Various Forms Used in Integration by Partial Fractions
如何使用部分分式进行积分？
要使用部分分式对任何有理函数进行积分，我们需要遵循以下步骤：
> – 步骤 1： 将给定有理函数的分母因式分解为线性和二次因子。
> – 步骤 2： 使用部分分式公式将有理函数写成简单分式的和。
> – 步骤 3： 确定常数 A、B 和 C。
> – 步骤 4： 使用适当的方法分别对每个部分分式进行积分，以得到最终的积分。
示例： 使用部分分式积分以下函数：f(x) = (3×2 + 2x + 1)/(x3 + x2)
解法：
> 步骤 1： 将分母因式分解为线性和二次因子：x3 + x2 = x2(x + 1)
>
> 步骤 2： 将有理函数写成简单分式的和。
>
> f(x) = (3×2 + 2x + 1)/[x2(x + 1)] = A/x + B/(x2) + C/(x+1)
>
> 步骤 3： 确定常数 A、B 和 C。
>
> 两边同乘公分母 (x2(x + 1))，我们得到：
>
> 3×2 + 2x + 1 = Ax(x+1) + B(x+1) + C(x2)
>
> 将 x = 0，x = -1 和 x = 1 代入上述方程，我们得到：
>
> 当 x = 0 时，B = 1
> 当 x = -1 时， C = 2
> 当 x = 1 时，A = 1
>
> 联立求解上述方程，我们得到：
> A = 1, B = 1, C = 2
>
> 步骤 4： 使用换元法对每个部分分式进行积分。
>
> 对 A/x = 1/x 积分，得到 ln
> 对 B/(x2) = 1/x2 积分，得到：-1/x
> 对 C/(x+1) = 2/(x+1) 积分，得到：2 ln
>
> 因此，最终答案是：
> ∫f(x)dx = ln
– 1/x + 2 ln
+ C，其中 C 是积分常数。
部分分式积分示例
示例 1： 计算 ∫(x – 1)/(x + 1)(x – 2) dx？
解法：
> 设 (x – 1)/(x + 1)(x – 2) = A/(x + 1) + B/(x – 2)
>
> 于是，(x – 1) = A(x – 2) + B(x + 1) . . .(i)
>
> 将 x = -1 代入 中，我们得到 A = 2/3
>
> 将 x = 2 代入 中，我们得到 B = 1/3
>
> 因此，
>
> (x – 1)/(x + 1)(x – 2) = 2/3(x + 1) + 1/3(x – 2)
> ⇒ I = ∫(x – 1)/(x + 1)(x – 2) = 2/3∫dx/(x + 1) + 1/3∫dx/(x – 2)
> ⇒ I = 2/3log
+ 1/3 log
+ C
示例 2： 计算 ∫dx/(x3 + x2 + x + 1)？
解法：
> 设 I = ∫dx/(x3 + x2 + x + 1)
>
> 现在，1/(x3 + x2 + x + 1) = 1/[x2(x + 1) + (x + 1)] = 1/(x + 1)(x2 + 1)
>
> 设 1/(x + 1)(x2 + 1) = A/(x + 1) + Bx + C/(x2 + 1) . . . (i)
> ⇒ 1 = A(x2 + 1) + (Bx + C) (x + 1)
>
> 在 两侧代入 x = -1，我们得到 A = 1/2。
>
> 比较 两侧 x2 的系数，我们得到
>
> A + B = 0 ⇒ B = -A = -1/2
>
> 比较 两侧 x 的系数，我们得到
>
> B + C = 0 ⇒ C = -B = 1/2
>
> 因此，1/(x + 1) (x2 + 1) = 1/2(x + 1) + (-1/2x + 1/2)/(x2 + 1)
>
> 因此，I = ∫dx/(x + 1) (x2 + 1)
> ⇒ I = 1/2∫dx/(x + 1) – 1/2∫x/(x2 + 1)dx + 1/2∫dx/(x2 + 1)
> ⇒ I = 1/2∫dx/(x + 1) – 1/4∫2x/(x2 + 1)dx + 1/2∫dx/(x2 + 1)
> ⇒ I = 1/2 log
– 1/4 log
+ 1/2 tan-1x + C
示例 3： 计算 ∫dx/x{6(log x)2 + 7log x + 2}？
解法：
> 令 log x = t 且 1/x dx = dt，我们得到
>
> I = ∫dx/x{6(log x)2 + 7log x + 2} = ∫dt/