平行四边形是一种对边平行且长度相等的四边形。此外，其对角也是相等的。平行四边形的一些重要性质如下：
- 平行四边形的对边长度相等且相互平行。
- 平行四边形的对角相等。
- 平行四边形的所有内角和为 360°。
- 平行四边形的相邻角互补（和为 180°）。
对角线的性质
平行四边形的对角线具有以下各种性质：
- 平行四边形的两条对角线互相平分。
- 每一条对角线都将平行四边形平分为两个全等的三角形。
- 根据平行四边形定律，平行四边形对角线的平方和等于其所有四条边的平方和。
平行四边形性质的定理
关于平行四边形性质的一些重要定理如下：
- 平行四边形的对边相等。
- 如果一个四边形的对边相等，那么它是平行四边形。
- 平行四边形的对角相等。
- 如果一个四边形的对角相等，那么它是平行四边形。
- 平行四边形的对角线互相平分。
- 如果一个四边形的对角线互相平分，那么它是平行四边形。
定理 1：平行四边形的对边相等。
已知： ABCD 是一个平行四边形
求证： AB = CD 且 DA = BC
!1
证明：
> 已知 ABCD 是一个平行四边形。因此，
>
> AB |
BC
>
> 现在， AD || BC 且 AC 分别截 A 点和 C 点。
>
> ∠DAC = ∠BCA…(i) [内错角]
>
> 现在， AB || DC 且 AC 分别截 A 点和 C 点。
>
> ∠BAC = ∠D …(ii) [内错角]
>
> 现在， 在 ΔADC 和 ΔCBA 中
>
> ∠DAC = ∠BCA [ 由 (i) 得出 ]
> AC = AC [ 公共边 ]
> ∠DCA = ∠BAC [ 由 (ii) 得出 ]
>
> 所以，根据 ASA（角边角）全等判定准则
>
> ΔADC ≅ ΔCBA
>
> AB = CD 且 DA = BC [ 全等三角形的对应部分相等 ]
>
> 证毕
定理 1 的逆定理： 如果一个四边形的对边相等，那么它是平行四边形
已知： 四边形 ABCD 的对边相等，即 AB = CD，且 BC = AD。
求证： 四边形 ABCD 是一个平行四边形。
> 在四边形 ABCD 中，AB = CD 且 AD = BC。在三角形 ABC 和 CDA 中，我们有
>
> AC = AC （公共边）
> AD = BC （已知）
> AB = CD （已知）
>
> 所以根据 SSS 全等判定准则，三角形 ABC 和 CDA 是全等的，从而根据 CPCT（全等三角形的对应部分相等），三角形的对应角相等。因此，∠BAC = ∠DCA，且 ∠BCA = ∠DAC。
>
> 现在 AB |
AD，因此 ABCD 是一个平行四边形。
定理 2：平行四边形的对角相等。
!2
已知： ABCD 是一个平行四边形
求证： ∠A = ∠C 且 ∠B = ∠D
证明：
> 已知 ABCD 是一个平行四边形。因此，
>
> AB |
BC
>
> 现在， AB || DC 且 AD 分别截 A 点和 D 点。
>
> ∠A + ∠D = 180º …(i) [ 同旁内角和为 180º ]
>
> 现在， AD || BC 且 DC 分别截 D 点和 C 点。
>
> ∠D + ∠C = 180º …(ii) [ 同旁内角和为 180º ]
>
> 由 (i) 和 (ii) 可得，
>
> ∠A + ∠D = ∠D + ∠C
>
> 所以， ∠A = ∠C
>
> 同理， ∠B = ∠D
>
> ∠A = ∠C 且 ∠B = ∠D
>
> 证毕
定理 2 的逆定理：如果一个四边形的对角相等，那么它是平行四边形
已知： 在四边形 ABCD 中，∠A = ∠C 且 ∠B = ∠D
求证： ABCD 是一个平行四边形。
证明：
> 已知四边形 ABCD 中 ∠A = ∠C 且 ∠B = ∠D。我们需要证明 ABCD 是平行四边形。
>
> ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360º （已知 ∠A = ∠C 且 ∠B = ∠D ）
>
> 2(∠A + ∠B) = 360º
>
> ∠A + ∠B = 180º.
>
> 因此 AD |
CD。
>
> 因此， AD |
CD。所以 ABCD 是一个平行四边形。
定理 3：平行四边形的对角线互相平分。
!3
已知： ABCD 是一个平行四边形
求证： OA = OC 且 OB = OD
证明：
> AB |
BC
>
> 现在， AB || DC 且 AC 分别截 A 点和 C 点。
>
> ∠BAC = ∠DCA [ 内错角相等 ]
>
> 所以， ∠BAO = ∠DCO
>
> 现在， AB || DC 且 BD 分别截 B 点和 D 点。
>
> ∠ABD = ∠CDB [ 内错角相等 ]
>
> 所以， ∠ABO = ∠CDO
>
> 现在， 在 ΔAOB 和 ΔCOD 中，我们有，
>
> ∠BAO = ∠DCO [ 平行四边形的对边相等（注：此处原文截断，意指对应角相等）]
> AD = BC [ 平行四边形的对边相等 ]
> ∠ABO = ∠CDO [ 已证 ]
>
> 所以，根据 ASA（角边角）全等准则，
>
> ΔAOB ≅ ΔCOD
>
> 因此， OA = OC 且 OB = OD （全等三角形的对应部分相等）
>
> 证毕
定理 3 的逆定理：如果一个四边形的对角线互相平分，那么它是平行四边形
已知： 四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于 O，且 OA = OC，OB = OD。
求证： ABCD 是一个平行四边形。
证明：
> 考虑 ΔAOB 和 ΔCOD，我们有：
>
> OA = OC （已知）
> OB = OD （已知）
> ∠AOB = ∠COD （对顶角相等）
>
> 所以，根据 SAS（边角边）全等判定准则，
>
> ΔAOB ≅ ΔCOD
>
> 因此， ∠OAB = ∠OCD 且 ∠OAD = ∠OCB （CPCT）
>
> 这意味着 AB || CD （内错角相等）
>
> 同理，考虑 ΔAOD 和 ΔCOB，我们可以证明 AD || BC。
>
> 因为 AB |
BC，所以 ABCD 是一个平行四边形。
>
> 证毕