根轨迹是我们在控制系统分析和设计中经常使用的一种重要方法。它主要研究当系统中的某个特定参数（通常是控制增益）发生变化时，系统特征方程的根（即极点）是如何移动的。这种图解方法对于判断系统的稳定性和瞬态响应特别有帮助。
在控制工程领域，根轨迹是一种图形化方法，用于分析当某个参数（通常是增益）发生变化时，系统闭环极点的行为。它帮助我们工程师和控制系统的设计者理解参数的变化如何影响系统的稳定性和性能。
关于根轨迹的关键点
- 系统传递函数：首先，我们需要找到系统的特征方程，这通常是通过将传递函数的分母设为零来确定的。特征方程能帮助我们找到系统的极点。
- 开环传递函数： 系统的传递函数可以被分解为开环和闭环组成部分。开环传递函数描述了系统在没有反馈控制时的状态。
- 特征方程： 如前所述，找到特征方程是关键，它是由传递函数的分母等于零确定的。这个方程是我们寻找系统极点的基础。
- 根的计算： 我们需要计算参数取不同值时特征方程的根（极点）。这些根通常是复数，它们在复平面上的位置直接表明了闭环系统的稳定性和行为特征。
- 参数变化： 我们通常会改变一个参数，往往是增益（K），同时保持其他参数恒定。这个参数通常代表控制器的增益。
- 设计： 利用根轨迹图，我们可以设计一个控制器，以实现理想的闭环系统行为。通过调整参数值（通常是增益），我们可以将闭环极点放置在我们希望的位置上。
- 绘图： 我们在复平面上绘制出不同参数值对应的根。当你改变参数时，这些根会移动，根轨迹图就会显示出这些根的运动轨迹。
- 分析： 通过观察根轨迹图，我们可以确定闭环系统的稳定性和性能是如何随着参数值的变化而改变的。需要注意的是极点相对于稳定区域的位置、阻尼比以及自然频率等关键因素。
根轨迹的幅角条件和幅值条件
让我们深入探讨一下这两个核心概念——
幅角条件： 幅角条件描述了开环极点和零点出发和到达根轨迹上点的角度关系。核心概念是，从开环极点到轨迹上某点的出发角之和，减去从开环零点到该点的到达角之和，必须等于180度（π弧度）的奇数倍。
幅角条件公式：
> Σ(θdeparture) – Σ(θarrival) = (2n + 1) * π radians
其中：
- θ_departure：从开环极点到根轨迹上某点的角度。
- θ_arrival：从开环零点到根轨迹上某点的角度。
- n：一个整数，表示围绕根轨迹的迭代次数。求和应在轨迹从一个开环极点移动到下一个时进行。
幅值条件： 幅值条件将根轨迹上点的开环传递函数幅值与增益（K）以及这些点到最近的开环极点或零点的距离联系起来。幅值条件决定了系统在轨迹上各点的响应幅度。
幅值条件公式：
>
=
其中：
-
G(s) ：根轨迹上某点的开环传递函数的幅值。
- K：控制增益（当前考虑的参数）。
- G_o(s)：开环传递函数。
- 此外，根轨迹上任意点的相角（φ）可以表示为：φ = Σ(θdeparture) – Σ(θarrival)
幅值条件提供了关于根轨迹上各点系统响应幅值如何随增益（K）变化的信息。
稳定性分析
我们利用根轨迹来评估系统的稳定性。如果闭环系统的所有极点都位于复平面的左半部分（即它们具有负实部），那么系统是稳定的。相反，如果有任何极点穿越到了右半部，系统就会变得不稳定。通过观察根轨迹是否穿过虚轴进入右半平面，我们可以直观地判断系统的稳定裕度。