单位圆是指半径为 1 的圆。其圆心位于坐标轴的原点 (0,0)。单位圆的周长为 $2\pi$ 个单位，面积为 $\pi$ 个平方单位。它拥有圆的所有性质。单位圆的方程为 $x^2 + y^2 = 1$。这个单位圆有助于我们定义各种三角函数概念。
!Unit-Circle单位圆
单位圆通常表示为 $S^1$，其在更高维度上的推广是单位球面。让我们在下面详细了解单位圆、公式和相关例题。
什么是单位圆？
单位圆是指半径为 1 个单位的圆。我们使用笛卡尔平面来绘制单位圆，它是一个包含两个变量的二次多项式。单位圆在三角函数和代数中有各种应用，主要用于求不同三角比（如 sin x、cos x、tan x 等）的值。
单位圆定义
在数学中，我们将单位圆定义为一个固定点的轨迹，该点到圆心的距离为 1 个单位。单位圆的半径为一个单位，因此被称为“单位圆”。
单位圆的方程
我们知道，圆心在 $(h, k)$ 且半径为 $r$ 的任何圆的方程是：
$(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$
对于单位圆，我们知道 $r$ 为 1 个单位，所以单位圆的方程为：
> $(x – h)^2 + (y – k)^2 = 1$
单位圆的公式
如果单位圆的圆心在原点，即 $(h, k) = (0, 0)$，那么单位圆的方程为：
> $x^2 + y^2 = 1$
下图展示了一个单位圆，其圆心坐标为 $h, k$。当圆位于原点时，$h$ 和 $k$ 的值为零，且半径 $AP$ 等于 1 个单位。
利用单位圆理解三角函数
在单位圆中应用勾股定理可以帮助我们更好地理解三角函数。为此，我们在笛卡尔坐标平面的单位圆内放置一个直角三角形。如果我们仔细观察，就会发现这个圆的半径表示直角三角形的斜边。
圆的半径构成一个向量。这会形成一个角度，假设为 $\theta$，它与正 x 轴夹角。让我们假设 $x$ 是直角三角形的底边长度，$y$ 是高（对边）长度。此外，半径向量端点的坐标分别为 $(x, y)$。
直角三角形的三边分别为 $1$、$x$ 和 $y$。现在我们可以计算三角比如下：
$\sin \theta = \text{对边}/\text{斜边} = y/1$
$\cos \theta = \text{邻边}/\text{斜边} = x/1$
现在，
- $\sin \theta = y$
- $\cos \theta = x$
- $\tan \theta = \sin \theta / \cos \theta = y/x$
通过代入 $\theta$ 的值，我们可以获得所有三角函数的主值。同理，也可以求出三角函数在不同角度下的值。
包含 Sin、Cos 和 Tan 的单位圆
单位圆上坐标为 $(x, y)$ 的任意一点，都可以用三角恒等式表示为 $(\cos\theta, \sin\theta)$。半径端点的坐标代表了特定 $\theta$ 值和半径线对应的余弦和正弦值。我们有 $\cos \theta = x$，以及 $\sin \theta = y$。一个圆分为四个部分，每个部分位于一个象限，分别形成 $90^\circ$、$180^\circ$、$270^\circ$ 和 $360^\circ$ 的角度。半径值的范围分别在 -1 到 1 之间。同样，$\sin \theta$ 和 $\cos \theta$ 的值也分别在 1 和 -1 之间。
单位圆与三角恒等式
我们可以利用 sin、cos 和 tan 的恒等式来计算余切、正割和余割的单位圆三角恒等式。总之，我们得到一个直角三角形，其三边分别为 $1$、$x$ 和 $y$。计算单位圆恒等式可以表示为：
- $\sin \theta = y/1$
- $\cos \theta = x/1$
- $\tan \theta = y/x$
- $\sec \theta = 1/x$
- $\text{cosec} \theta = 1/y$
- $\cot \theta = x/y$
单位圆图表
单位圆图表是一个包含各种角度的正弦和余弦三角函数值的图表。下图展示了相应的单位圆图表：
单位圆表
单位圆表中使用的三角比用于列出单位圆上对应于常见角度的点的坐标。
0°
45°
90°
—
—
—
0
1/√(2)
1
1
1/√(2)
0
0
1
未定义
未定义
√(2)
1
1
√(2)
未定义