在数学领域，集合是一组定义明确的、独立的对象所构成的群体。一个集合可以包含任何类型的元素组合，例如一组数字、一周的几天，或者一类车辆。
> 示例： A = { 2, 4, 6, 8 }。
>
> 这里 A 是一个集合，而 2、4、6 和 8 是该集合中的元素。集合中的元素可以按任意顺序书写，但不能重复出现。
集合公式
集合公式是与数学中集合论相关的公式。掌握集合知识能帮助我们在统计学、概率论、几何学和数列等领域应用这些公式。
关于集合元素数量的公式
如果 n(A) 和 n(B) 分别代表两个有限集合 A 和 B 中的元素数量，那么：
> – n (A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
> – n(A) = n(A U B) + n(A ∩ B) – n(B)
> – n(B) = n(A U B) + n(A ∩ B) – n(A)
如果集合 A 和 B 是不相交的（即没有共同元素），那么：
> – n(A U B) = n(A) + n(B)
> – A ∩ B = ∅
> – n(A – B) = n(A)
基于集合性质的公式
集合公式拥有与实数或自然数几乎相同的性质。集合也具有交换律、结合律和分配律。根据集合性质，集合公式如下所示。
- 交换律
> A⋂ B = B⋂ A
> A∪ B = B∪ A
- 结合律
> A⋂ (B⋂ C) = (A⋂ B)⋂ C
> A∪ (B∪ C) = (A∪ B)∪ C
- 分配律
> A ⋂ (B∪ C) = (A ⋂ B) ∪ (A⋂ C)
- 幂等律
> A ⋂ A = A
> A ∪ A = A
- 空集与全集定律
> A⋂ Ø = Ø
> U ⋂ A = A
> A ∪ Ø = A
> U ∪ A = U
集合补集的公式
集合补集的公式包括补集的基本定律、德·摩根定律、双重补集以及空集和全集的定律。
> 1. 补集定律 A∪A‘ = U, A⋂A‘ = Ø 且 A‘ = U – A
> 2. 德·摩根定律 (A ∪B)‘ = A‘ ⋂B‘ 且 (A⋂B)‘ = A‘ ∪ B‘
> 3. 双重补集律 (A‘)‘ = A
> 4. 空集与全集定律 Ø‘ = U 且 U‘ = Ø
集合差集的公式
> 1. A – A = Ø
> 2. B – A = B⋂ A‘
> 3. B – A = B – (A⋂B)
> 4. (A – B) = A （当 A⋂B = Ø 时）
> 5. (A – B) ⋂ C = (A⋂ C) – (B⋂C)
> 6. A ΔB = (A-B) U (B- A)
> 7. n(AUB) = n(A – B) + n(B – A) + n(A⋂B)
> 8. n(A – B) = n(A) – n(A⋂B)
> 9. n(A‘) = n(∪) – n(A)
延伸阅读
> – 集合的基数
> – 集合的表示法
> – 集合的类型
> – 集合的运算
示例问题 – 集合论公式
问题 1： 数学中的集合是什么？请举例说明。
解答：
> 集合是由花括号括起来、用逗号分隔的一组独立元素的集合。示例：收集蔬菜，收集笔记本。或者，集合可以表示为 A = { 1, 2, 3, 4 }，其中 1、2、3 和 4 是集合 A 的元素。
问题 2： 为什么我们在数学中使用集合？
解答：
> 使用集合的目的是在一个群体中代表一组相关的对象。在数学中，我们通常指的是数字组，例如自然数组、有理数集等。
问题 3： 什么是集合的并集？
解答：
> 两个集合 A 和 B 的并集包含集合 A 和集合 B 的所有元素。它用符号 "U" 表示。例如，如果集合 A = { 2, 3 } 且 B = { 5, 6 }，那么 AUB = { 2, 3, 5, 6 }。
问题 4： 如何用集合构造符形式表示给定集合 A = {1, 3, 5, 7, 9}。
解答：
> 我们可以用集合构造符形式将给定集合表示为 A = { x | x 是小于 10 的奇自然数 }。
问题 5： 给定 A = { 10, 12, 14, 16, 18} 和 B = {14, 16}。求 A U B、A ⋂ B 和 A – B。
解答：
> 因为，A = { 10, 12, 14, 16, 18 } 且 B = { 14, 16 }
> A U B = { 10, 12, 14, 16, 18 }
> A ⋂ B = { 14, 16 }
> A – B = { 10, 12, 18 }
问题 6： 集合交集的公式是什么？
解答：
> 集合 A 和 B 的交集的表达式用 ⋂ 表示，n(A⋂B) 表示集合 A 和 B 中共有元素的个数。因此，交集的公式由 n(A⋂B) = n(A) + n(B) – n(A∪B) 给出。
问题 7： 集合公式的应用有哪些？
解答：
> 集合公式在许多抽象概念中有广泛的应用。
>
> 例如，如果 R 是实数集，Q 是有理数集，那么 R – Q 就是无理数集。
>
> 概率论采用了集合规则。例如，样本空间就是一个全集。如果 A 和 B 是两个互斥事件，那么 P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A⋂B)。
问题 8： 班级里有 240 名学生，92 人打羽毛球，60 人打乒乓球，80 人打橄榄球，27 人…