正则表达式（RE）是一种使用符号和运算符（如联合、连接和星号）来描述字符串模式的方法。确定性有限自动机（DFA）则是一种机器，它读取输入字符串，并通过在一组定义的状态间无歧义地转换来决定它们是否匹配该模式。将正则表达式（RE）转换为确定性有限自动机（DFA）主要有两种方法：
- 状态/循环消除法 (State/Loop Elimination)
- 阿登定理 (Arden’s Theorem)
状态/循环消除法
- 在这种方法中，我们移除那些不属于最终状态集（F）的状态，除非该状态是起始状态。
- 当消除一个状态时，我们需要重写在转移弧（即表示状态之间连接的线）上的正则表达式（RE）。
这个过程通过减少不必要的状态并专注于 DFA 的核心部分来简化自动机。
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定理：
> 设 P, Q 和 R 是字母表 Σ 上的正则表达式。如果 P 不包含 ε（空串），则方程 R = Q + RP 有唯一解，即 R = QP*。
术语解释
- Q, P: 正则表达式。
- R: 给定方程的解。
- Q: 独立于 P 的正则表达式。
- P: 与 R 相关联的正则表达式。
该定理允许使用克林星号运算，用 Q 和 P 来表示 R。每当我们得到形式为 R = Q + RP 的方程时，我们可以直接将其替换为 R = QP*。
阿登定理的证明
我们从方程开始：
> R=Q+RP
代入 R = Q + RP，我们得到：
> R = Q + (Q + RP)P
再次代入 R = Q + RP，我们得到：
> R = Q + QP + RPP
现在，如果我们重复代入 R 的值，我们会得到：
> R = Q + QP + QP² + QP³ + …
这可以因式分解为：
> R = Q (ε + P + P² + P³ + …)
由于 P (P star) 代表 (ε + P + P² + P³ + …)*，我们可以将方程简化为：
> R = QP*
因此，
> R = QP* 是方程 R = Q + RP 的唯一解。
注意： 阿登定理用于将给定的有限自动机转换为正则表达式。
为了理解这个定理，让我们来求解一个示例。
阿登定理示例
我们得到了以下代表正则集的方程组，其中包含状态 q0, q1 和 q2：
> 1. q0 = ϵ + q11 + q2(0 + 1) ———— (A)
> 2. q1 = q00 + q12 ———— (B)
> 3. q2 = q01 + q10 ———— (C)
第 1 步：将式 (C) 中的 q2 代入式 (A)
将方程 (C) 中 q2 的表达式代入方程 (A)：
> q0 = ϵ + q11 + (q01 + q10)(0 + 1)
化简右侧：
> – q0 = ϵ + q11 + q01(0 + 1) + q10(0 + 1)
> – q0 = ϵ + q11 + q01 + q11(0 + 1)
这可以简化为以下形式：
> q0 = ϵ + q1(1 + 00 + 01) + q01(0 + 1)
这是 R = Q + RP 的形式，其中：
> – R = q0
> – Q = [ϵ + q1(1 + 00 + 01)]
> – P = 1(0+1)
第 2 步：求解 q0
该递归方程的解为：
> R = QP∗
因此，q0 的表达式变为：
> q0 = ϵ + q1(1 + 00 + 01))∗———— (D)
第 3 步：将式 (D) 中的 q0 代入式 (B)
现在，将式 (D) 中 q0 的值代入式 (B)：
> q1 = q02 + ϵ + q1(1 + 00 + 01))∗
化简后：
> q1 = 1(0 + 1)∗0 + q1[2 + (1 + 00 + 01)(1(0 + 1))∗0]
这又构成了 R=Q+RP 的形式，其中：
> – R = q1
> – Q = 1(0+1)∗0
> – P = [2 + (1 + 00 + 01)(1(0 + 1))∗0]
第 4 步：求解 q1
解为：
> q1 =1(0 + 1)∗0[2 + (1 + 00 + 01)(1(0 + 1))∗0]∗
第 5 步：将 q1 代入式 (D)
现在，将 q1 的表达式代入式 (D)：
> q0 = [ϵ + 1(0 + 1)∗0[2 + (1 + 00 + 01)]]
化简后：
> q0 = [(1(0 + 1)∗)0]∗(1 + 00 + 01)(1(0 + 1))∗
最终正则表达式
因此，描述该机器的正则表达式由下式给出：
> q0 + q1=[ϵ + (1(0 + 1)∗0)[2 + (1 + 00 + 01)(1(0 + 1))∗0]∗] + (1 + 00 + 01)(1(0 + 1))∗ + (1(0 + 1)∗0[2 + (1 + 00 + 01)(1(0 + 1))∗0]∗)∗
这就是描述给定机器的最终正则表达式。
计算理论背景下阿登定理的特点
- 求解方程： 阿登定理帮助我们求解包含正则表达式的方程组，这对于构建有限自动机和模式匹配非常有用。
- 唯一解： 它保证了唯一解，确保了计算中的可靠性和清晰性。
- 高效的方法： 该定理提供了一种清晰、循序渐进的求解方程的方法，使其易于通过算法实现。
- 专注于正则语言： 它专为正则语言设计，而正则语言是理论计算机科学许多领域的核心，例如编译器和文本处理。
- 与形式语言理论的联系： 阿登定理连接了正则表达式、文法和有限自动机，这些是形式语言理论的核心思想。
- 实践性： 在实际应用中，该定理为从自动机推导正则表达式提供了一个系统化的工具，避免了复杂的构造过程。