利用矩阵逆求解方程组

在数学中，矩阵是按矩形模式排列并由行和列分隔的数字数组。通常，我们通过将所有整数括在方括号内来表示它们。

!MATRIX一个 3×3 矩阵

我们可以使用矩阵法来求方程组的解。在方程中，所有的变量都应按正确的顺序书写。在适当的一侧，写下变量、它们的系数和常数。

关键术语：

下面是一些求矩阵逆必不可少的术语：

• 行列式: 矩阵的行列式是为给定方阵产生的标量值。行列式在线性代数中处理，它是使用方阵的元素计算的。
• 子式: 在删除特定元素所在的行和列后形成的矩阵定义为矩阵的子式。
• 代数余子式: 矩阵 A 中某元素的代数余子式是通过将该元素的子式 Mij 乘以 (-1)i+j 产生的。
• 伴随矩阵: 矩阵 A 的伴随矩阵是 A 的余子矩阵的转置。

矩阵的逆

当且仅当方阵 A 是非奇异矩阵时，它是可逆的。我们可以通过将矩阵的伴随矩阵除以矩阵的行列式来获得矩阵的逆。通过执行以下步骤，我们可以计算矩阵的逆：

• 步骤 1：确定给定矩阵的子式。
• 步骤 2：将获得的矩阵转换为余子矩阵。
• 步骤 3：最后，求伴随矩阵，以及
• 步骤 4：将其乘以行列式的倒数。

设 A = \begin{bmatrix}

a{11} & a{12} & a_{13} \\

a{21} & a{22} & a_{23} \\

a{31} & a{32} & a_{33}

\end{bmatrix}

A 的伴随矩阵 = \begin{bmatrix}

A{11} & A{12} & A_{13} \\

A{21} & A{22} & A_{23} \\

A{31} & A{32} & A_{33}

\end{bmatrix} 的转置

=

\begin{bmatrix}

A{11} & A{21} & A_{31} \\

A{12} & A{22} & A_{32} \\

A{13} & A{23} & A_{33}

\end{bmatrix}

矩阵 A 的逆矩阵 = A{-1}= \frac{1}{

}

\begin{bmatrix}

A{11} & A{21} & A_{31} \\

A{12} & A{22} & A_{32} \\

A{13} & A{23} & A_{33}

\end{bmatrix}

现在，让我们看看如何利用行列式和矩阵来求解两个或三个变量的线性方程组，以及如何评估系统的相容性。

• 相容系统： 如果方程组有（一个或多个）解，则认为该方程组是相容的。
• 不相容系统： 如果方程组的解不存在，则称该系统是不相容的。

用矩阵方程表示线性系统

我们可以使用增广矩阵来表示方程组。增广矩阵中的每一行代表系统中的一个方程，而每一列代表一个变量或常数项。我们可以看到，增广矩阵是以这种方式建立方程组的快捷方式。

!<a href="https://media.geeksforgeeks.org/wp-content/uploads/20250828150004728330/augmentedmatrix.webp">augmentedmatrix增广矩阵