商法则是微积分中一种用于求导的方法，专门处理一个函数除以另一个函数的形式，即 f(x)/g(x)。当我们需要对这种形式的函数进行微分时，商法则是一个非常有力的工具。
> \frac{d}{dx}[\frac{f(x)}{g(x)}]= \frac{g(x)\frac{d}{dx}[f(x)]-f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]}{[g(x)]^2}
商法则公式
商法则公式是用来求函数导数的表达式，这里的函数特指由两个函数相除构成的商函数。
> d/dx [u(x)/v(x)] = [v(x) × u‘(x) – u(x) × v‘(x)] / [v(x)]2
其中：
- u(x) 是第一个函数，它必须是可微函数，
- u‘(x) 是函数 u(x) 的导数，
- v(x) 是第二个函数，它也必须是可微函数，且
- v‘(x) 是函数 v(x) 的导数。
商法则的证明
我们可以通过以下几种方法来推导商法则：
- 使用链式法则
- 使用隐函数求导
- 使用导数与极限的性质
使用链式法则推导商法则
求证： H‘(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f‘(x) × g(x) – f(x) × g‘(x)] / [g(x)]2
已知： H(x) = f(x)/g(x)
证明：
> H(x) = f(x)/g(x)
> ⇒ H(x) = f(x).g(x)-1
>
> 使用积法则（Product Rule）,
> H‘(x) = f(x). d/dx [g(x)-1] + g(x)-1. f‘(x)
>
> 应用幂法则,
> H‘(x) = f(x). (-1)[g(x)-2.g‘(x)] + g(x)-1. f‘(x)
> ⇒ H‘(x) = – [f(x).g‘(x)] / [g(x)]2 + f‘(x) / [g(x)]
>
> H‘(x) = [-f(x).g‘(x) – f‘(x).g(x)] / [g(x)]^2
> 注意：原文推导最后一步符号可能有误，标准形式应为 f‘(x)g(x) 在前。
由此，商法则得证。
使用隐函数求导推导商法则
让我们取一个可微函数 f(x)，满足 f(x) = u(x)/v(x)。
> u(x) = f(x).v(x)
>
> 使用积法则,
> u‘(x) = f‘(x)·v(x) + f(x)·v‘(x)
>
> 现在解出 f‘(x)
> f‘(x) = [u‘(x) – f(x)·v‘(x)] / v(x)
>
> 将 f(x) = u(x)/v(x) 代入,
> f‘(x) = [u‘(x) – (u(x)/v(x))·v‘(x)] / v(x)
>
> f‘(x) = [u‘(x)·v(x) – u(x)·v‘(x)] / v²(x)
由此，商法则得证。
使用导数与极限的性质推导商法则
让我们取一个可微函数 f(x)，满足 f(x) = u(x)/v(x)。
> 我们知道，f‘(x) = limh→0 [f(x+h) – f(x)] / h
>
> 代入 f(x) = u(x)/v(x)
> f‘(x) = limh→0 [u(x+h)/v(x+h) – u(x)/v(x)] / h
> f‘(x) = limh→0 [u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h.v(x).v(x+h)
>
> 分配极限,
>
> f‘(x) = {limh→0 [u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h}.{limh→0 1/v(x).v(x+h)}
> ⇒ f‘(x) = {limh→0 [u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h) + u(x)v(x) – u(x)v(x)] / h}.{1/v(x).v(x)}
> ⇒ f‘(x) = {limh→0 [u(x+h).v(x) – u(x).v(x)] / h} – {limh→0 [u(x)v(x+h) – u(x)v(x)] / h}.{1/v2(x)}
> ⇒ f‘(x) = v(x){limh→0 [u(x+h) – u(x)] / h} -u(x) {limh→0 [-v(x+h) + v(x)] / h}.{1/v2(x)}
>
> f‘(x) = [v(x).u‘(x) – u(x).v‘(x)] / v2(x)
>
> 这正是我们要求的商法则。
如何在求导中使用商法则？
步骤 1： 将分子和分母分别记为函数 u(x) 和 v(x)。
步骤 2： 分别求 u(x) 和 v(x) 的导数，即求出 u‘(x) 和 v‘(x)。然后应用商法则公式，
> f‘(x) = [u(x)/v(x)]‘ = [u‘(x) × v(x) – u(x) × v‘(x)] / [v(x)]2
步骤 3： 化简上述方程，即可得到 f(x) 的导数。
让我们通过一个例子来理解这个概念。
例子： 求 f‘(x)，如果 f(x) = 2×3/(x+2)
> 已知，f(x) = 2×3/(x + 2)
>
> 与 f(x) = u(x)/v(x) 比较，我们得到
>
> – u(x) = 2×3
> – v(x) = (x + 2)
>
> 现在对 u(x) 和 v(x) 进行求导
>
> – u‘(x) = 6×2
> – v‘(x) = 1
>
> 使用商法则，
>
> f‘(x) = [v(x)u‘(x) – u(x)v‘(x)]/[v(x)]2
> ⇒ f‘(x) = [(x+2)•6×2 – 2×3•1]/(x + 2)2
> ⇒ f‘(x) = (6×3 + 12×2 – 2×3)/(x + 2)2
> ⇒ f‘(x) = (4×3 + 12×2)/(x + 2)2
积法则与商法则
微积分中的积法则用于求函数的导数，当该函数表示为另外两个函数的乘积时。
微积分的积法则指出，如果 P(x) = f(x).g(x)
> P‘(x) = f(x).g‘(x) + f‘(x).g(x)
而微积分的商法则则用于对表示为两个函数相除的函数进行微分，即 f(x) = p(x)/q(x)。
那么，使用商法则对 f(x) 的求导计算如下：
> f‘(x) = {q(x).p‘(x) – p(x).q‘(x)}/q2(x)
商法则应用实例
例 1： 求函数 \bold{y=\frac{x^3-x+2}{x^2+5}} 的导数。
解：
> 分子和分母函数都是可微的。
>
> 应用商法则，
>
> y‘=\dfrac {d}{dx}[\dfrac{x^3-x+2}{x^2+5}]
>
> ⇒ y‘= \dfrac{[d/dx(x^3-x+2)(x^2+5)-(x^3-x+2)d/dx(x^2+5)]}{[x^2+5]^2}
>
> ⇒ y‘= \dfrac{[(3x^2-1)(x^2+5)-(x^3-x+2)(2x)]}{[x^2+5]^2}\\=\dfrac{(3x^4+15x^2-x^2-5)-(2x^4-2x^2+4x)}{[x^2+5]^2}
>
> ⇒ y‘= \dfrac{x^4+16x^2-4x-5}{[x^2+5]^2}
例 2： 求函数 f(x) = tan x 的导数。
解：
> tan x 可以写成 sinx/cosx
> （此处省略具体计算步骤，利用商法则对 sinx/cosx 求导即可得到 sec²x）